Om Ligninger Der Løses Ved Kvadratrod
Med Anvendelse Paa Problemers Løsning Ved Passer Og Lineal

10 ufuldkomne Bestemmelser af Røddernes Grændser, at formindske Prøvernes Antal. Jeg skal her fremstille to andre Methoder, der ere meget simple; den forste findes angivet i flere Lærebøger. Første Methode. Man dividerer sidste Led med den Værdi af x, som man prøver; til Kvotienten lægges Koefficienten til x, hvorpaa man atter dividerer; til Kvo- tienten lægges Koefficienten til x2, og saaledes videre. Dersom man kommer til en brudden Kvotient, er Tallet ikke Rod, men dersom alle Kvotienterne ere hele Tal, og man ved Addition af det første Leds Koefficient til den sidst erholdte Kvotient faar Nul til Sum, er Tallet Rod. Methodens Rigtighed indses let; da x gaar op i alle de andre Led, maa det og- saa gaa op i det sidste; divideres x bort, faar man et Polynomium, der er en Grad lavere, og hvor X atter maa gaa op i det Led, der ikke indeholder x, men dette er netop Summen af Koefficienten til x og den ved den forrige Division erholdte Kvotient, og saaledes videre. Som Exempel ville vi prove, om 12 er Rod i Ligningen x.5 _ 47 x* 423 _ 140 1213 x _|_ 42o = o. Man faar efterhaanden 420:12 + 1213 = 1248; 1248:12 — 140 = —36; — 36:12 4-423 = 420; 420:12 — 47 = —12; — 12:12 -L 1 = 0. x —12 er altsaa Faktor i Ligningens venstre Side. Anden Methode. Dersom a er Kod i f(x) = O, maa man have -Ü2L = Q, x — a hvor Q er et helt, rationalt Polynomium. Dette maa ogsaa gjælde for specielle Værdier af x, saa at Udtrykkene f(l) f(-l) f(2) /(—2) ‘ a — 1’ a-f-1* a — 2’ a-^-2 * maa være hele Tal. Man indsætter derfor kun de laveste Faktorer paa sædvanlig Maade, saa at man finder f(—2), f(—1), /(l), / (2) o. s. v. De andre Faktorer prøves da først paa den i den forrige Methode angivne Maade, naar de have vist sig at gjore de ovenfor angivne Kvotienter til hele Tal. Fordelen er navnlig den, at, naar Faktorerne ere store Tal, vil man enten hurtig se, at de ikke ere Rødder, eller ogsaa er der en stor Sand- synlighed for, at de ere det. Saaledes finder man i Ligningen ovenfor /(- 1) = - 1404; /(l) = 1870; f(2) = 4950; f (3) = 10656. Ved Hjælp af disse udskydes strax alle Faktorerne i 420 undtagen 12 og 35. De fire Tal ere nemlig henholdsvis delelige med