Om Ligninger Der Løses Ved Kvadratrod
Med Anvendelse Paa Problemers Løsning Ved Passer Og Lineal

11 13, 11, 10, 9 og 36, 34, 33, 32. Begge de saaledes fundne Tal ere Rodder i Ligningen. 3. Dersom Polynomiet indeholder en rational Faktor af anden Grad x2 ax -j-- maa der i f(x) = § være to Rødder, hvis Produkt er k. k kan derfor bestemmes som rational Eod i den Ligning, hvis Rodder ere Produkterne af to og to af Rødderne i f(x) — 0. Dersom denne Ligning ikke har rationale Rødder, har f(x) ikke rationale Faktorer af anden Grad, men fordi der er en rational Rod, behøver der ikke i at være nogen rational Faktor af anden Grad. For at søge en saadan, danne vi Ligningen denne maa nemlig, som tidligere vist, faa de to Rodder, der bestemmes ved x2 4- ax 4- & = 0, fælles med f(x) = 0, saa at den søgte Faktor af anden Grad bliver fælles Faktor for de / k 1 to Polynomier f(x) og f - , og altsaa kan bestemmes paa sædvanlig Maade. Da k maa være Faktor i Ligningens sidste Led, vil det, naar dette kun inde- holder faa laktorer, være lettest at prøve med disse, for at undgaa Bestemmelsen af Lig- ningen i k. Saaledes f. Ex. i Ligningen f (.r) = x4 2 xs — 3x2 — 4x — i = 0 kan man strax sætte — for x, saa at man faar x x4 4~ 4 ,z3 -J- 3 æ2 — 2 x — 1. Den største fælles Faktor for dette Polynomium og f (x) er x2 -f- 3 x 4- 1, saa at man faar f (x) = (x2 4- 3 x + 1) C*2 — X — 1). Dersom sidste Led i f{x) indeholder mange Faktorer, kan man ogsaa, i Stedet for først at sage k, strax søge største fælles Faktor for /(.r) og hvor k foreløbig er ubestemt. Seive Kogningen er nemlig, som tidligere vist (se 10), et Middel til at danne Lig- ningen i /v, da den Rest af første Grad, inan omsider kommer til, netop maa blive Nul, naar k er Produktet af to af Rødderne i = °- Dersom Besten bliver 0 for flere ra- tionale Værdier af k, ville disse, hver for sig indsatte for k i den sidste Divisor af anden Grad, give forskjellige Faktorer af anden Grad i f(xj. 4. De to Polynomier /’(./•) og kunne °&saa faa en fælles Faktor af første Grad, nemlig i det Tilfælde, hvor k er et Kvadrat, og den givne Ligning har en af Redderne