Om Ligninger Der Løses Ved Kvadratrod
Med Anvendelse Paa Problemers Løsning Ved Passer Og Lineal

12 + V>“ eller — V1-. I dette Tilfælde vil nemlig Ligningen fl — I — O faa Roden + Vk = + y *. Vi ville tænke os den tilsvarende Faktor bortdivideret og ligeledes Ligningen be- friet for lige Rødder. Der kan da være flere Systemer af to Rodder, hvis Produkt er År, og alle disse Rodder ville gaa over i den ny Ligning, saa at man faar en fælles Faktor af hojere end anden Grad; denne Faktor kan da bortdivideres, og vi maa nu særlig søge at oplose den i Faktorer af anden Grad. Lad Faktoren være <p (./■). Ligningen g) {x) — 0 har da den Egenskab, at dens Rodder to og to have Produktet k. Denne Klasse Lig- ninger, der indbefatter de almindelige reciproke Ligninger, kunne altid, ligesom disse, reduceres ti] den halve Grad; man bruger Substitutionen som let ses kun at give y halv saa mange Værdier som ./•; er nemlig a\ x2 — /c, ville de to Værdier af y i k \ k ~ Og + — J 2 falde sammen. Faktorerne af anden Grad i cp (æ) repræsenteres ved x2 — y x -\-k og blive rationale, naar y er rational, saa at Opgaven er reduceret til Bestemmelsen af de rationale Rodder i Ligningen i y. Dannelsen af denne Ligning sker, som ved de almindelige reciproke Ligninger, hvor k — 1. 5. Vi kunde ogsaa, for at bestemme den rationale Faktor i /’(z) x2 — aa: -j- k, være gaaede ud fra Bestemmelsen af a, der maa være rational Rod i den Ligning, hvis Rodder ere Summerne af to og to Kodder i den givne Ligning. Den søgte Faktor bliver da fælles for de to Polynomier /'(j) og f(a — x). I détte Tilfælde komme vi som specielt Tilfælde til at betragte saadanne Ligninger, der blive uforandrede ved denne Substitution, og hvor altsaa Summen af Ilodderne to og to er a, dersom Graden er lige, medens desuden maa være Rod, dersom den er ulige. I Li det sidste Tilfælde tænkes den tilsvarende Faktor bortdivideret, og Ligningen kan da redu- ceres til den halve Grad ved Substitutionen y = a: (a — x). y faar nemlig her kun halv saa mange Værdier,som z, thi dersom a\ — a' to Værdier af y