Om Ligninger Der Løses Ved Kvadratrod
Med Anvendelse Paa Problemers Løsning Ved Passer Og Lineal

13 jc-L (a — og x2 (a — a"2) falde sammen. Til de forskjellige Værdier af y svare de forskjellige Faktorer af anden Grad <7:2 — ctx —y, saa at Bestemmelsen af saadanne rationale Faktorer er reduceret ti] Bestemmelsen af rationale Rødder i Ligningen i y. Dersom de to første Led i den givne Ligning ere <®2n — A æ211- 1, maa man have n a = A, og Betingelsen for, at Ligningen horer til den angivne Klasse, er da, at den bliver ufor- andret ved Ombytning af x med a — x, da denne Substitution kun frembringer en Om- bytning mellem to og to af Rødderne. Ligningen i y dannes ved Elimination af x mellem q> (x) = 0 og y — ax — x2. Denne Elimination kan udføres paa sædvanlig Maade, eller ved at sætte cy (x) lig et Poly- nomium i y af den halve Grad og med ubestemte Koefficienter; disse bestemmes da, efter at y er udtrykt ved x, ved de ubestemte Koefficienters Methode. Simplest er maaske føl- gende Methode, der tillige viser, at Ligningen i y faar den angivne Grad: Da ep (æ) er identisk med q) (a — x), kan man sætte <p (x) -|- q) (a — x) = 0, hvor det almindelige Led faar Formen an (zrn + (a — «)n). Dette Udtryk er symmetrisk med Hensyn til x og a — x og kan altsaa udtrykkes rationalt ved disse Størrelsers Sum og Produkt, det vil sige ved a og y. Betegnes xn(a — x)n ved Sn, have vi 8n *Sj!—i — y /Sq—2 — cl —i y —2, idet $1 = «, So — 2. Denne Formel giver efterhaanden Udtrykkene i y. Exempel. xG — 9 x5 + 30 x4 — 45 x3 + 25 x2 4- Gx — 4 = 0. Man har 9 = 3 a, saa at Ligningen maa blive uforandret ved Ombytning af x med 3 — .r, for at Methoden skal kunne benyttes. Da dette finder Sted, beregne vi efterhaanden = a S2 — a2 — 2u $3 = a3 — 3uy S4 — et4 — 4 a2y 4- 2 y2 S5 = a5 — 5 a3y + 5 ay2 S6 — a6 — 6 a4y 4~ 9 a2y2 — 2 y3, som, indsat i Ligningen S6 — 9 S5 + 30 S4 — 45 S3 4- 25 S2 4- 6 — 8 = 0, for a — 3 giver — 3 ?/2 — 2 -j-4 — 0,