Om Ligninger Der Løses Ved Kvadratrod
Med Anvendelse Paa Problemers Løsning Ved Passer Og Lineal

14 der har en rational Rod 1 og de to irrationale Rodder 1 + j 5. Den givne Ligning kan altsaa skrives (æ2 — 3 x 4- 1) (æ2 — 3 æ* -J- 1 +1 5) (æ2 — 3 x 4- 1 — 1 5) = 0. 6. Den angivne Methode til Bestemmelse af rationale Faktorer af anden Grad ud- vides let til Bestemmelse af Faktorer af en hvilkensomhelst Grad. Vi ville for Simpelheds Skyld antage, at vi søge en rational Faktor af fjerde Grad i Polynomiet f(xy, hvad vi sige derom, kan da let overføres paa det almindelige Tilfælde. Lad f{x) = 0 være af Graden n og have Rødderne x^ x% • • • xn. Vi danne da den Ligning, hvis Rodder ere alle Produkterne af fire af disse Rødder. Der- som f (x) har en rational Faktor af -fjerde Grad, hvis sidste Lod er k, maa k være Rod i den dannede Ligning, og bestemmes altsaa ved at søge de rationale Rodder i denne. Vi danne nu den Ligning, hvis Rodder ere Å .r2 x.A og alle de Udtryk, der kunne dannes heraf, ved at udtage de tre Rødder i Nævneren mellem Rødderne i f (#) = 0 paa alle mulige Maader. Denne Lignings Koefficienter ville blive rationale, da de ere symmetriske Funktioner af Redderne i /*(.z) = 0. Dersom mi X J X3 X —- k 5 vil man have k k k k -- >Z J , -- tZ o , -- Ä i) ) -- vt 1 I *^2 '^3 '^2 ^4 ’^1 ^ 3 & 4 2 ’^3 ’^4 saa at den nv Ligning W (.r) = 0 maa have Rødderne .z;15 x2, x3 og xA fælles med den givne. Den søgte Faktor af fjerde Grad bliver da fælles for f(x) og V (x) og bestemmes paa sædvanlig Maade. Hvad Bestemmelsen af k angaar, gjælder her det Samme, som er sagt ved Be- stemmelsen af en Faktor af anden Grad, nemlig, at man, ved at beholde Betegnelsen k, i selve den Regning, som udfores, for at bestemme den fælles Faktor, har et Middel til at bestemme k. Da k maa være Faktor i sidste Led af f (x), kan man, naar dette kun inde- holder faa Faktorer, prøve med disse; man kan da undertiden vejledes i Valget af den Faktor, man vil prøve, ved Indsættelse af Talværdier for x i /’(.z) og W(»•), og Bestem- melse af deres største fælles Faktor i disse specielle Tilfælde. Denne maa nemlig være lig med eller et Multiplum af den specielle Værdi, som den rationale Faktor har for de indsatte Værdier af x og k, og der er derfor ikke megen Sandsynlighed for en Værdi af k, som for flere Værdier af x giver lave fælles Faktorer. Dersom den fælles Faktor for f (,r) og (./■) bliver af højere end fjerde Grad, maa der være flere end de fire Rodder i /'(.r) 0, der kunne udtrykkes ved k divideret med