Om Ligninger Der Løses Ved Kvadratrod
Med Anvendelse Paa Problemers Løsning Ved Passer Og Lineal

15 Produktet af tre af Rodderne; da den fundne Faktor gaar op i kunne vi foreløbig oplose dette Polynomium og behøve altsaa kun at betragte det Tilfælde, hvor / (.z) gaar op i W (x). Ligningen W (a) = 0 maa i dette Tilfælde blandt sine Rødder have alle Rødderne i f (x) = 0, og hver af disse kan endda forekomme flere Gange; dersom de nu ikke alle forekomme døt samme Antal Gange, kunne vi, ved at bortdividere en vis Potens af / (z), faa et Udtryk, der har en Faktor fælles med f(x), og altsaa som forhen kan tjene til Be- stemmelse af denne; der bliver altsaa tilbage kun det Tilfælde, da V(z) er delelig med en Potens af f(x), og den derved erholdte Kvotient ikke længer har nogen Faktor fælles ined /'(j). 7. Dersom (#) er delelig med f(x), og Kvotienten ikke har nogen Faktor fælles med maa Ligningen /’(#) = 0 være af Graden (p et helt Tal), og den kan da løses ved en Ligning af Graden p og p Ligninger af fjerde Grad. Dersom Ligningen af Graden p har rationale Rödder, vil f(x) i Almindelighed have rationale Faktorer af fjerde Grad. Man har nemlig xs x4 = k, der viser, at disse fire Rodder maa gaa over i Ligningen W (x) — 0. Ingen af disse Rødder kan forekomme i noget andet Produkt af fire Rødder, der er k, thi dersom man havde ,X’l Xb j;6 — ki maatte k JL — X y 6 ^7 forekomme fiere end een Gang som Rod i (^) = 0, hvilket strider mod det Antagne. Da nu enhver Rod i f(x) - 0 skal forekomme i (r) = O, maa enhver af dem forekomme i eet og kun i eet Produkt af fire Rødder, der er k. Vi se saaledes, at Ligningens Rødder paa een Maade og kun paa een Maade kunne deles i Grupper med fire i hver, saaledes at Redderne i hver Gruppe have Produktet k. Vi kunne nu danne to Ligninger med rationale Koefficienter, den ene, hvis Rødder ere alle Værdier af • r« + xß + xy + x^ I og den anden, hvis Rødder ere alle Værdier af Å x„ 4- Xo - r x -----------. • ! P 7 XaXßXy Disse to Udtryk kunne kun blive lige store, dersom ,z a Xp xy = Å,