Om Ligninger Der Løses Ved Kvadratrod
Med Anvendelse Paa Problemers Løsning Ved Passer Og Lineal

16 saa at man, vcd at søge en største fælles Faktor, der maa blive af Graden p, faar dannet den Ligning, hvis Rødder ere Summerne af Rødderne i de Grupper med fire i hvor, hvor Produktet er k. Vi have saaledes dannet den Ligning af Graden p, hvis Rødder med modsat Tegn ere Koefficienterne til x3 i de Ligninger af fjerde. Grad, i hvilke den givne Ligning deler sig. De andre Koefficienter kunne udtrykkes rationalt ved disse; sætte vi nemlig og danne den Ligning, hvis Rødder ere alle Værdier af a — + ,ry XS) ’ da maa disse fire Rødder gaa over i den ny Ligning, og man kan da, ved at soge storsti1 tælles Faktor, finde den almindelige Form for en Faktor af fjerde Grad i /’(./•), saaledes at Koefficienterne ere udtrykte rationalt ved a. Her kan atter indtræde det Tilfælde, at den falles Faktor bliver af højere end fjerde Grad; vi skulle imidlertid ikke her gaa nærmere ind derpaa, saalidt som paa del Tilfælde, da W (r) er delelig med højere Potenser af /'(./■). Disse Tilfælde ville blive be- handlede, naar vi komme til Løsningen af irreduktible Ligninger, hvor de navnlig have* Betydning; her, hvor det kun kommer os an paa Bestemmelsen af de rationale Faktorer, kunne de altid undgaas, idet man kan gaa ud fra en af de andre Koefficienter i den ra- tionale Faktor, f. Ex. X1 ^2 + >Z‘l X3 + X4 + j;2 ■r3 + ,r2 X4 + X3 X4 — f, eller ogsaa omforme den givne Ligning ved en simpel lineær Substitution x — ay 4- b. III. Løsning af irreduktible Ligninger, der kunne løses ved Kvadratrod. 1. Vi have set, at en irreduktibel Ligning, der skal kunne løses ved Kvadratrod, maa være af Graden 2’’. Der gives forskjellige Substitutioner, ved hvilke en saadan Lig- ning kan reduceres til en af Graden 2p-1, livor Koefficienterne da komme til at indeholde en Kvadratrod. Vi kunne saaledes, idet vi for Overskueligheds Skyld holde os til Ligningen af 8de Grad, sætte yt ~ Xl X2 X3 X4 H- ^5 X1 X3 og danne den Ligning, hvis Rodder ere alle de Værdier af y, som vi faa, ved at udtage de paa højre Side al Lighedstegnet forekommende Størrelser