Om Ligninger Der Løses Ved Kvadratrod
Med Anvendelse Paa Problemers Løsning Ved Passer Og Lineal

17 •'i x2 a?3 .... mellem Rødderne i den givne Ligning paa alle Maader. Denne Ligning i // faar rationale Koefficienter, da disse ere symmetriske Funktioner af Rødderne i den givne Ligning. Da de 4 Rødder i det første Produkt kunne udtages mellem de 8 paa 70 Maader, og da hvert Udtryk paa denne Maado kommer igjen to Gange, maa Ligningen i y blive af 35te Grad. Dersom nu ./• kan udtrykkes ved Kvadratrod, maa dot Samme gjælde om y; Ligningen i y maa da være reduktibel, og, da Graden er ulige, mindst liave een rational Rod. Be- stemmes denne, vil den, i Forbindelse med det bekjendte Produkt af alle Rødderne i den givne Ligning, give en Ligning af anden Grad til Bestemmelse af de fire Hodders Produkt, der saaledes udtrykkes ved en Kvadratrod. Da nu, som tidligere bevist, de andre symmetriske Funktioner af disse fire Eodder kunne udtrykkes rationalt ved deres Produkt, have vi saaledes bestemt den ene Faktor af Qerde Grad i den givne Lignings venstreSide; give vi den indkomne Kvadratrod overalt modsat Tegn, faa vi den anden Faktor. Den saaledes fundne Ligning af Qerde Grad behandles nu paa samme Maade, idet vi sætte y *^2 I- '^*3 X 4 ’ der fører os til en ny Hjælpeligning af tredie Grad; da ogsaa denne skal kunne loses ved Kvadratrod, inaa den være reduktibel, idet den forekommende Kvadratrod regnes med til de bekjendte Størrelser; den maa altsaa have en Ilod, som kan udtrykkes rationalt ved de bekjendte Størrelser, det vil sige, som kun indeholder den ene tidligere indførte Kvadrat- rod; ved at benytte denne Rod i Forbindelse med de fire Rødders Produkt, komme vi til en ny Ligning af anden Grad, hvorved der indføres en ny Kvadratrod, og saaledes videre. (Se Noterne.) Da Hjælpeligningen af tredie Grad er den, der sædvanlig benyttes til Losningen af Ligninger af fjerde Grad, eller ialfald ved en simpel Substitution kan omformes dertil, se vi, at Betingelsen for, at en Ligning af Qerde Grad kan loses ved Kvadratrod, er, at denne under Navn af Insolventen bekjendte Ligning har en rational Bod. Istedet for den ved Ligningen af 8de Grad anvendte Substitution, kunde man an- vende forskjellige andre, f. Ex. y — (^1 + X'2 + •/;8 “F ,Z?4) Cz;5 + ^6 X1 eller y = — y;2 4- “4“ ^'5 — -J~ xi æs)2. 2. Det her Udviklede anvendes let paa den almindelige Ligning af Graden 2>>: det gjælder blot om at vise, at Hjælpeligningen altid har en rational Rod, eller, hvad der er det Samme, at den bliver af ulige Grad. Vi have set, at Graden g af Ligningen findes ved at udtage det halve Antal af Rødderne mellem dem alle, og dividere det saaledes fundne Tal med 2. Vi faa da 3