Om Ligninger Der Løses Ved Kvadratrod
Med Anvendelse Paa Problemers Løsning Ved Passer Og Lineal

19 forekomme symmetrisk. Betegne vi ved sp Summen af Produkterne ai p og p al disse og ved a0, Op bekjendte Størrelser, kan Relationen skrives a0 -j- d2 ^2 • • • • — 0. Af denne faas for en af Rødderne xv — Ap, hvor Ap er en rational, symmetrisk Funktion af de andre i Relationen forekommende Rodder. Vi danne nu den Ligning = 0, hvis Rodder ere alle de Værdier, som A antager, naar de deri forekommende Rødder ud- tages mellem den givne Lignings Rodder paa alle Maader. Da nu (r) = 0 har en Rod fælles med den givne Ligning f(.r) = 0, maa den, da denne er irreduktibel, have dem alle, og de maa alle forekomme lige mange Gange; vi kunne derfor i Almindelighed an- tage, at ^(./) er delelig med (/'(^))(1- Dersom # = 1, kan Ligningen, som vi tidligere have bevist det for et specielt Tilfælde, reduceres. Er den nemlig af Graden n, og indeholder den givne Relation p Rødder, lader den sig dele i Ligninger af p& Grad, hvis Koefficienter bestemmes ved Ligninger af Graden Vi kunne nemlig danne den Ligning, der bestemmer en symmetrisk Funktion P af disse Rødder, f. Ex. *^2 ~F • • • Vi have da ogsaa = At x2 4- x3 -f- • • • xv ’ saa at ur bestemmes ved to Ligninger, der kun kunne faa de Rodder fælles, for hvilke X‘p =■ -4p, det vil sige, de Værdier af u, der udtrykkes ved de samme Rødder, som indgaa i den givne Relation og de analoge. Da hver Rod kun forekommer i een af disse, bliver An- tallet af fælles Rodder for de to Ligninger Som tidligere bevist, behove vi kun at bestemme u, da de andre Koefficienter ere rationale Funktioner af denne. Omvendt, dersom vi have en Ligning xv -J- Q/J .rp-1 + <?2 (#i) 7,1 2 + .-- =0, hvor <px, <p2 ... ere rationale Funktioner, og yr en Rod i en Ligning af Graden og vi for yx efterhaanden indsætte de andre Rødder i denne Ligning og multiplicere de saaledes erholdte Udtryk, komme vi til en rational Ligning af nte Grad. Koefficienterne i denne blive nemlig symmetriske Funktioner af alle Værdierne ai y. Dersom q ikke er 1, er det ikke sikkert, at Methoden fører til en Reduktion; Sætningen gjælder da kun, dersom vi betragte (f» = o, som den givne Ligning, og man faar da denne delt i Ligninger af Graden —, hvis Koef- ficienter bestemmes ved Ligninger af p^Q Grad.