Om Ligninger Der Løses Ved Kvadratrod
Med Anvendelse Paa Problemers Løsning Ved Passer Og Lineal

20 Dersom p = 2, maa man have # = 1. Dersom der altsaa gives en Relation d (<^1 —]— X6 x2 — c, kan Ligningen altid deles i lutter anden Grads Ligninger ved en Ligning af den halve Grad. Denne findes ved at eliminere x mellem x2 — xy + C '=£ O og den givne Ligning. Vi kunne udføre denne Elimination ved at udtrykke x2 og deraf eftcrhaanden de hejere Potenser af x ved første Potens af x og y, og altsaa give Ligningen Formen Ytx-j- F=0, der da, dersom Ligningen horer til den angivne Klasse, maa reducere sig til r2 = o, idet Y2 er største fælles Faktor for og Y. Exempel. For Ligningen xi — 2x3 4- 2x2 + Yx 4- 4 = 0 gives Relationen ,z 1 æ2 = ~l~ ^2 ~i~ ’ saa at vi sætte x2 — yx -|- y + 2 = 0, hvoraf x2 — yx — y — 2 a» = ^ — y — 2)x — (y2 + 2y) & = (y3 — 2y (y + 2)) x — {y3 + y2 — 4y — 4), altsaa Yt = y3 — 4«/2 + 8 Y = — y3 + y2 + Qy + 4, hvoraf Y2 = y* — 2y — 4 = 0 y — 1 + v 51 saa at Ligningen kan skrives (x- — x (1 —V 5) —}— 3 —y 5) (x2 — x (1 — V 5) 4~ 3 — V 5) = 0. For at søge, om Methoden er anvendelig paa en given Ligning, bemærke vi, at a (j-j 4- x2) 4- 1) xx x2 c — 0 giver CLX 2 ] C Xx ~ — T-----—, ) , uX2 Cl saa at den givne Ligning ved denne Substitution skal blive uforandret for passende Vær- dier af a, b og c. Elimineres disse af Betingelsesligningerne, faas de Ligninger, der ud- trykke de Relationer mellem de givne Koefficienter, der maa være tilfredsstillede. (Se Noterne.)