Om Ligninger Der Løses Ved Kvadratrod
Med Anvendelse Paa Problemers Løsning Ved Passer Og Lineal

21 5. Der gives en i Praxis let anvendelig Methode til at søge en Betingelse, som nød- vendigvis maa være opfyldt, for at en given Ligning skal kunne løses ved Kvadratrod, og som tillige tjener til at bestemme den første ved Losningen indkommende Kvadratrod; Methoden, som bevises nedenfor, er følgende: Man uddrager paa sædvanlig Maade Kvadratroden af Ligningens venstre Side; Betingelsen er da, at Koefficienterne i Resten have en fælles Faktor, og denne maa indeholde de Faktorer, der kunne forekomme under Rodtegnet i den søgte Kvadratrod. Betingelsen er nødvendig, men ikke tilstrækkelig. Da der ved Roduddragningen i Koefficienterne kan komme Broker med Potenser af 2 i Nævneren, tage vi intet Hensyn til denne Faktor. Lad den givne Ligning være af Graden 2w, og kunne skrives som en Ligning af Graden n, hvor Koefficienterne indeholde v«. Dersom denne forekommer i Koefficienten til .r2n, skalle vi den bort ved en Multiplikation, og den givne Ligning ,z2n 4- At + ?12 Æ2n~2 0 (3) maa da kunne skrives (Zn 4“ ar Xn~' «2 ^n“2 +••••+ an)2 + a (^1 ^n~2 + • • • • 4“ ^n)2 = 0. Ved Kvadratrodsuddragningen give vi derimod (3) Formen (icn + /q üJ“-1 + k2 xn-~ + • • • • ^n)2 4“ ^>>-1 = 0, (4) hvor Hesten J?n-i ikke indeholder x med højere Exponent end n—1. Af (3) og (4), der maa være identiske, faar man ligeledes identisk (2a;n+(a1-|-Å;1)«n-1-|-(a2+Å;2)^n-2... .-]-«n+^n) ((«i— Aj)^n-2'T • • • •(«»—M) =—a(61^n-1+&2^“-2+.... &n)2 4-14-1, (5) og ved Sammenligning af Koefficienterne til .r2n—1, rc3n—3 .... xn, hvor altsaa Rn—i er uden Indflydelse 2(^—7^) = 0, 2 (a2 7c2) -j- ((/j -|- kx) — kx) — a bl , 3 (Up ÅJp) + (Æ1 + ^1) («P-1 ^P—1) (tt2 + ^2) («P-2 &P-2) • • • = « -4, 4 (<Zn kn) —j- -j- kJ (Cln—1 kn—\) 4“ ■ • • • (^n—1 H kn—1) (^1 kJ OL 11, livor a A og all ere Polynomier, der ere delelige med a. Den forste af disse Ligninger viser, at ar ■= kx, saa at a1 bestemmes strax ved Roduddragningen; den næste viser, at a2— k2 er delelig med a, den næste, at det Samme gjælder 0111 a3 — Zc3, og saaledes videre til an — kn. Derved bliver hele venstre Side af