Om Ligninger Der Løses Ved Kvadratrod
Med Anvendelse Paa Problemers Løsning Ved Passer Og Lineal

y^-NDET Afsnit. Om Løsningen af geometriske Konstruktionsopgaver ved Passer og Lineal. I. Betingelser for Muligheden. 1. I^aar en Opgave kan løses ved Passer og Lineal, og man soger de ved Konstruktionen bestemte Storrelser udtrykte ved de givne, kan man ikke komme til andre irrationale Udtryk end Kvadratrodsstørrelser. Enhver Løsning, hvor sammensat den end er. kan nemlig kun bestaa af den gjen- tagne Udførelse af de to, til de anvendte Apparater svarende, elementære Operationer: At trække en ret Linie gjennem to givne Punkter, og at tegno en Cirkel med givet Centrum og given Radius. Vi kunne nu benytte Formlerne i den analytiske Geometri til at beregne Koordi- naterne til de forskjellige Punkter, efterhaanden som vi bestemme dem ved Konstruktionen: vi komme da til at benytte følgende Formler: Ligningen for en ret Linie gjennem to givne Punkter; Formlen for Afstanden mellem to givne Punkter; Ligningen for en Cirkel med givet Centrum og given Radius; Formlerne til Bestemmelse af Skjæringspunkterne for to givne rette Linier, for en given ret Linie og on givon Cirkel og for to givne Cirkler. Da nu disse Formler ikke indeholde andre irrationale Udtryk end Kvadratrødder, kan der ikke indkomme andre, hvor ofte og i hvilken Orden de end anvendes. Vi se heraf, at de Ligninger ined een Ubekjendt, der tjene til at bestemme Løs- .ningen af et geometrisk Problem, maa, forsaavidt de ere irreduktible, være af en Grad, der er en Potens af to. Da vi nu i det Foregaaende liave vist, at reduktible Ligninger altid kunne deles i irreduktible, og at Losningen af disse altid kan findes, naar de kunne