Om Ligninger Der Løses Ved Kvadratrod
Med Anvendelse Paa Problemers Løsning Ved Passer Og Lineal

 25 /'(./■, ax -}-q) = ep (<r, a, q). <pt (.r, a, q), vilde man, ved i denne identiske Ligning- at sætte a — O og q — y, faa / (.%>, y) = (p (,r, y). (pr (x, y), saa at den givne Kurve maatte være sammensat af de to ep (x, y) = 0 og cpx (x, y) = 0. Dersom nu et af Skjæringspunkterne for den givne Kurve og den rette Linie kan bestemmes ved Passer og Lineal, maa, som vi have bevist, Ligningen f(x, ax q) — 0 kunne loses ved Kvadratrod, og altsaa, da den er irreduktibel, være af Graden 21’. En af Rødderne kan da udtrykkes ved p Rodstørrelser, og idet disse alle tages med dobbelt For- tegn, faas alle Rødderne. Omvendt vide vi, at Ligningen kan dannes ved at gaa ud fra Udtrykket for en af Rødderne og efterhaanden bortskaffe alle Rodtegnene, et ad Gangen. Vi ville antage, at vi saaledes liave bortskaffet alle Rodtegnene paa eet nær, og altsaa ere komne til en Ligning af Graden 2P—1, der i sine Koefficienter kun indeholder denne ene Rodstørrelse va, og som, naar denne tages med begge sine Værdier, giver alle Redderne i den oprindelige Ligning, svarende fil de 2p Skjæringspunkter for Kurven og den rette Linie. Idet vi samle alle de Led, der indeholde ] a, paa den ene Side af Lighedstegnet, kan Ligningen skrives I <4 (rti ^P-1 4-&2 ^P-1 (4) hvor A, av a2.. b2... ere hele rationale Funktioner af a og q og de i /'(x, y) fore- kommende bekjendte Størrelser. Dersom nu A indeholder baade a og */, maa der til ethvert givet a existere mindst een Værdi af y, der gjor A til Nul: for en saadan speciel Stilling af den rette Linie falde Skjæringspunkterne sammen to og to, idet Skjæringspunkterne med den vil- kaarlige Linie kunne ordnes parvis, saa at to sammenhørende kun ere forskjellige vod For- tegnet for ]/ a. At to Skjæringspunkter falde sammen kan ske ved, at Linien fra Skjæring gaar over ti] Koring, eller ved, at den gaar gjennem et Dobbeltpunkt af Kurven. Dette kan finde Sted for en Linie i enhver Retning, naar Kurven kun har to Skjæringspunkter med en vilkaarlig ret Linie, men kun i enkelte bestemte Retninger, dersom den liar flere. Kurven maa altsaa være et Keglesnit. Dersom A kun indeholder q, maa der altid være en Værdi af q, der gjor A til Nul; deraf folger, at alle Linier gjennem et vist Punkt af Ordinataxen skjære Kurven i Punkter, der falde sammen to og to; dette er meningslost, da Ordinataxen kan vælges vilkaarligt. Dersom A kun indeholder tv, maa der være en Værdi af a, der gjer A til Nul, saa at alle Linier i en vis Retning skjære Kurven i to og to sammenfaldende Punkter: dette er ligeledes meningsløst. Dersom endelig A ikke indeholder a eller </, bliver den en bekjendt Størrelse, og V A hører ikke til de Rodstørrelser, der skulle bortskaffes. 4