Om Ligninger Der Løses Ved Kvadratrod
Med Anvendelse Paa Problemers Løsning Ved Passer Og Lineal

26 Endnu maa vi betragte det Tilfælde, da A — O gjor x ubestemt, det vil sige, hvor den Værdi, der gjør A til Nu], ogsaa gjør alle Koefficienterne paa højre Side af Ligheds- tegnet &t, &2 ... til Nul. Vi multiplicere da paa begge Sider mod va og faa A x~P 1 + a2 x2? 1 1 -j- ...) = l A (b1 x‘-v + ^2 1 • • •)• A, b2 ... tænkes ordnede efter Potenser af q. Nu maa alle de Værdier af 7, der gjøre A til Nul, ogsaa gjore bv b2 ... til Nul, thi dersom der var en Værdi af 7, om hvilken dette ikke gjaldt, kunde man have benyttet den, og ført Beviset som for; men naar alle de Værdier, der gjnre A til Nul, ogsaa gjore bv b2 ... til Nul, maa A gaa op i disse Størrelser, og kan altsaa divideres bort, hvorpaa Beviset bliver som ovenfor. Sætningen er saaledes bevist for alle Tilfælde. Vi have taget det som umiddelbart indlysende, at der ikke er andre Kurver end Keglesnittene, hvis Skjæringspunkter med uendelig mange rette Linier kunne falde sammen to og to. For Fuldstændigheds Skyld ville vi give et Bevis herfor: Ingen usammensat, algebraisk Kurve kan have uendelig mange Dob- beltpunkter. Gjennem et vilkaarlig valgt Punkt trække vi en ret Linie y — b — a (x—a) og danne den Ligning, der bestemmer dennes Skjæringspunkter med Kurven; Betingelsen for, at denne Ligning har lige Rodder, er en algebraisk Ligning, der bestemmer de Værdier at a, for hvilke den rette Linie indeholder et Dobbeltpunkt; da enhver saadan ret Linie kun kan gaa gjennem et endeligt Antal Dobbeltpunkter, maatte der til uendelig mange saa- danne svare uendelig mange Værdier af a, saa at Ligningen i a maatte være identisk. Ligningen i x havde da i Almindelighed lige Rodder, den var følgelig reduktibel, og den givne Kurve sammensat (se ovenfor). Ingen usammensat, algebraisk Kurve kan have uendelig mange Dob- belttangenter. Denne Sætning følger af den forrige, ifølge Theorien om Poler og Polarer. Af disse to Sætninger følger atter, at ingen anden Kurve end et Keglesnit kan skjæres af uendelig mange rette Linier i Punkter, der falde sammen to og to, da dette maatte medføre, at Kurven havde uendelig mange Dobbeltpunkter eller uendelig mange Dobbeltfangenter. 5. For det Følgendes Skyld skulle vi udtrykke Sætningen paa en anden Maade: Naar en Ligning af første Grad med to Ubekjendte off vilkaarlige Koefficienter ax + by = c (5) i Forbindelse med en anden irreduktibel Ligning, hvis Koefficienter ere uafhængige af de forrige f(x, y) = 0 (6) skal kunne Uses ved Kvadratrod, er den mest almindelige Form for denne