Om Ligninger Der Løses Ved Kvadratrod
Med Anvendelse Paa Problemers Løsning Ved Passer Og Lineal

27 t y) — 4" Bxy + Cy2 -}- -j- Ey -|- 1’ — 0. (7) Ved Hjælp heraf kunne vi, ved at tillægge x og y forskjellige Betydninger, udlede en Mængde ny Sætninger af den ovenfor fundne. 6. Der gives ingen andre Kurver end Keglesnittene, til hvilke man ved Passer og Lineal kan trække Tangenter fra et vilkaarligt Punkt. Vi kunne nemlig udtrykke det, at en Linie er Tangent fil en Kurve, ved en Lig- ning mellem Koefficienterne i den rette Linies Ligning; lade vi f. Ex. 1 og 1 betyde de x ° y Stykker, Linien afskjærer af Axernc, vil som bekjendt (5) udtrykke, at Linien gaar gjennem et givet Punkt, medens (7) udtrykker, at den er Tangent til et givet Keglesnit. Sætningen følger saaledes af den almindelige, da x og y maa kunne udtrykkes ved Kvadratrod, der- som Tangenten skal kunne trækkes ved Passer og LineaL 7 At bestemme de Kurver, hvis Skjæringspunkter med en vilkaarlig Cirkel gjennem et givet Punkt kunne findes ved Passer og Lineal. Tage vi det givne Punkt til Begyndelsespunkt, have vi Ligningen for Cirklen derigjennem ... x2 + y2 + + by = o. (8) Sætte vi hen x y 2 "l~ 2 — u’l 2 1 < — (9) ar + y x 4~ y bliver Ligningen til au 4- bv + 1 = 0. (10) Da denne er den almindelige Ligning af forste Grad, og u og v kunne udtrykkes ved Kvadratrod samtidig med x og y, maa den anden Ligning være Au2 Buv 4- Cv2 Fu + Ev -j- F — 0 (11) eller 4- Bxy + Cy2 + (Dx + Ey) (x2 + y*) + F(x2 + y2)2 = 0, (12) en Kurve af fjerde Orden, der har et Dobbeltpunkt i det givne Punkt, og som desuden skjæres af enhver Cirkel i to uendelig fjerne, imaginære Dobbeltpunkter. Vi se let den geometriske Betydning af den anvendte Substitution, og hvorledes denne tillige giver os Opgavens Losning. Betragte vi u og v som Koordinater til et Punkt, vise de to Ligninger — — og (x2 + y2) (u2 4- v2) — 1 at Punktet (w, v) ligger i Radius vektor til Punktet (x, y), og at Produktet af de to Radii vektores er konstant; medens (ar, y) gjennemlober en Cirkel gjennem Begyndelses- punktet, gjennemlober (u,v) en ret Linie, og medens (x, y) gjennemløber den ved (12) be-