Om Ligninger Der Løses Ved Kvadratrod
Med Anvendelse Paa Problemers Løsning Ved Passer Og Lineal

29 Under denne Form synes en vilkaarlig Cirkel ikke at være indbefattet, hvilket den dog selvfølgelig maa være; ved en nærmere Betragtning se vi ogsaa dette Tilfælde komme frem, idet Kurven kan dele sig i to Cirkler, der ligge symmetrisk med Hensyn til den givne Linie; omvendt, have vi Ligningerne for to saadanne Cirkler x2 + y2 + + b + cy = 0 og —|— y~ —j— ax —b — cy = 0, kunne de sammen trækkes til den ene (.r2 + y2Y + 2 ((W -f- &) (.z12 + y2) + a2x2 + 2abx 4- b2 — c2//2 — 0 eller (x2 ,?/2)2 -4" (2ax -\-2b — c2) (x2 4- y2} -f- («2 4~ c2) + 2abx -|- b2 = 0, der falder ind under den angivne Form. Den her anvendte Substitution svarer ogsaa til Indførelsen af en Hjælpekurve, nemlig den, som gjennemløbes af Punktet (ti, x); til ethvert Punkt i den oprindelige Kurve svarer heri et nyt, der har samme Abscisse, men hvis Ordinat er tredie Proportional til en vil- kaarlig, konstant Linie og det oprindelige Punkts Afstand fra Begyndelsespunktet. Til en Kurve, hvis Ligning falder ind under (17), svarer da et Keglesnit, til en Cirkel med Centruin i den givne Linie en ret Linie, medens en Cirkel med Centrum udenfor den givne Linie giver en Del af et Keglesnit, hvis øvrige Del svarer ti] den, med den givne, symmetrisk liggende Cirkel. Som Anvendelse heraf ville vi Løse følgende Opgave: Paa to givne Cirkelperiferier at lægge en ret Linie af given Længde, saaledes at den skjærer den ene af Cirkelperiferierne i Centerlinien. Vi tage dette Skjæringspunkt til Begyndelsespunkt, Centerlinien til Abscisseaxe; lad O være Begyndelsespunktet, J Liniens andet Punkt paa den samme Cirkel, r dennes Radius, B det Punkt af Linien, der falder paa den anden Cirkel og AB = ti; dersom vi af Opgaven borttage den Betingelse, at B skal falde paa den anden Cirkel, faar B et geometrisk Sted, og Opgavens Løsning bestaar da i Bestemmelsen af dettes Skjæringspunkt med den anden Cirkel; da denne blot skal have sit Centrum paa en given Linie, men forresten er vilkaarlig, kan Opgaven kun loses ved Passer og Lineal, dersom Stedet for B l'aar en Ligning, der er indbefattet i (17). Dette er her Tilfældet, idet Ligningen let findes at være (x2 4- y2 — 2rx)2 = a2 (x2 y2). Vi bruge da den angivne Substitution, eller for Homogeneitetens Skyld x2 y2 = 2ur, saa at Ligningen for Hjælpekeglesnittet er 2r (u — x)2 == a2 u. Den anden Cirkel a2 -p y2 + a'v b — 0 2ru 4- ar 4" b — 0. giver den rette Linie