Om Ligninger Der Løses Ved Kvadratrod
Med Anvendelse Paa Problemers Løsning Ved Passer Og Lineal

30 Naar Skæringspunkterne for Hjælpekurverne ere bestemte ved en af de sædvanlige Konstruktioner, findes de søgte Punkter let, da de ligge paa den anden Cirkel og have samme Abscisse som de først fundne Punkter. 9. At bestemme de Kurver, hvis Skjæringspunkter med et vilkaarligt Keglesnit, med Axerne paa givne Linier, man kan bestemme ved Passer og Lineal. Vi tage de givne Linier til Koordinataxer; Keglesnittets Ligning er da ax2 4- by2 = c, (18) der ved Substitutionen x2 — u; y2 = v (19) bliver au bv — c. (20) Den sogte Ligning er altsaa Ax* + Bx2y2 4- Cy + Dx2 + Ey2 + F = 0, ' (21) der svarer til alle Kurver af fjerde Orden, som have Centrum og Symmetriaxer fælles med Ellipserne. 10. At bestemme den mest almindelige Form for en Ligning, i hvilken to af Koefficienterne ere vilkaarlige og uafhængige af de andre, og som skal kunne løses ved Kvadratrod. Ligningen har Formen axn -j- bæ? 4" cp (x) = 0, (22) hvor ep ikke indeholder a eller b. Sætte vi —— = U; -t-z — v, (P (#) <P tø faa vi au -J- bv + 1 = 0, (24) der i Forbindelse med den Ligning mellem u og v, der faas ved Elimination af x mellem de to Ligninger (23), skal kunne løses ved Kvadratrod. Denne Ligning maa da være af højst anden Grad, og u og v udtrykkes da begge ved en og samme Kvadratrod; vi kunne da sætte u=A-]-B]/C; v^A^B^C. (25) Nu give de to Ligninger (23) rrn-p = ± = A2 + V C , (26) der viser, at n—p maa være en Potens af 2, dersom x skal kunne udtrykkes ved Kvadrat- rod, og at n—p maa være Ligningens halve Grad, da o?n—p har to Værdier. Bortskaffe vi Rodtegnet af (26), komme vi til den søgte Form + + = 0. (27)