Om Ligninger Der Løses Ved Kvadratrod
Med Anvendelse Paa Problemers Løsning Ved Passer Og Lineal

31 Mere almindelig kunde den givne Ligning have Formen + + 1 = O, (28) hvor </>(.?;) og ¥%/■) ikke indeholde de vilkaarlige Størrelser a og b. Sætte vi q> (x) = u; V7 (#) = v, . (29) maa Elimination af x føre til en Ligning af Formen 4w2 + Duv + Cv2 + Du + Ev + F = O, saa at u og v udtrykkes ved een Kvadratrod; naar disse ere fundne, maa endvidere x kunne findes af (29) ved Kvadratrod. Dersom de to vilkaarlige Størrelser a og b forekomme i Koefficienterne i f(x, a,b) — O, (30) saa ledes at 7=^71'’ (31) da db maa (30) være af højst anden Grad, for at kunne løses ved Kvadratrod. (31) er nemlig Betingelsen for, af (30) kan gives Formen f(xy ax 4- b) = 0, (32) der ved Substitutionen y — ax —1~ b bliver /'(.r, y) = 0 , hvorved Sætningen følger af 5. 11. Der gives ingen andre Kurver end Cirklen og den rette Linie, hvis Skjæringspunkter med en vilkaarlig Cirkel man kan bestemme ved Passer og Lineal. Da enhver ret Linie kan betragtes som en Cirkel med uendeligt ijernt Centrum, maa Skjæringspunkterne med alle rette Linier kunne bestemmes, dersom de kunne be- stemmes med alle Cirkler; det gjælder altsaa blot om at finde, i hvilke specielle Tilfælde et Keglesnits Skjæringspunkter med en vilkaarlig Cirkel kunne bestemmes, og her kan utter Parametren betragtes som fuldkommen vilkaarlig (blot ikke Nul), da man ved Lige- dannethedsmethoden altid kan bringe den til at have en livilkensomhelst given Størrelse. Endvidere, dersom man kan bestemme Skjæringspunkterne med alle Cirkler, kan man ogsaa bestemme dem med visse vilkaarlig valgte Cirkler, og vi kunne derfor nøjes med at undersøge de to Kurver ?/2 = px 4- qxl og / _p a 2 _ pX ty , hvor p og b ere ganske vilkaarlige.