Om Ligninger Der Løses Ved Kvadratrod
Med Anvendelse Paa Problemers Løsning Ved Passer Og Lineal

32 Det ene Skjæringspunkt er Begyndelsespunktet, de andre bestemmes ved Ligningen tø -j- l)2 x3 — b2qx — b2p = 0, der viser, at Skjæringspunkterne kunne bestemmes for q — — 1 og for p = 0, altsaa naar Keglesnittet er en Cirkel eller et System af rette Linier. I alle andre Tilfælde er Ligningen den almindelige Ligning af tredie Grad, og kan ikke loses ved Kvadratrod; man kan nemlig for et opgivet q altid vælge b og p saaledes, at Ligningens Koefficienter blive eller finde hvilkesomhelst opgivne Størrelser m og n, idet man sætter — b2q — b2p a + 7)2 a + 7)2 q ' 7 m ' Dersom altsaa Ligningen kunde løses ved Kvadratrod, vilde man derved kunne en Løsning ved Kvadratrod for den almindelige Ligning af tredie Grad x3 mx 4" n — 0, idet man i Losningen biot havde at indsætte Værdierne for b og p. Det er forudsat, at q er rational eller kun irrational ved Kvadratrod, det vil sige, at Keglesnittet er et saa- dant, hvis bestemmende Stykker kunne konstrueres af visse opgivne Størrelser ved Passer og Lineal; denne Forudsætning er tilladelig, da man kunde bestemme saa mange Punkter, som man ønskede, hvis man kunde bestemme Skjæringspunkterne med en vilkaarlig Cirkel. Det vundne Resultat kan ogsaa udtrykkes saaledes: Naar en Ligning < x2 4- y2 4~ ax + by 4- c — O, (33) hvor ft, b og c ere vilkaarlige, i Forbindelse med en anden irieduklibel Ligning /'(#,?/) == 0, (34) hvis Koefficienter ere uafhængige afa, b og c, skal kunne loses ved Kvadrat- rod, er den mest almindelige Form for denne Ligning A (x2 + y2) -+-ßx+Cy + D ^0. <35) Ved her at tillægge x og y forskjellige Betydninger, vil man atter heral kunne udlede en Mængde ny Sætninger, men vi skulle kun opholde os ved at udvikle dette nærmere for et enkelt Tilfælde. 12. Lad Ligningen for en ret Linie være hvor der mellem Koefficienterne ax by = 1, er en Ligning af anden Grad; dersom denne er den