Om Ligninger Der Løses Ved Kvadratrod
Med Anvendelse Paa Problemers Løsning Ved Passer Og Lineal

33 almindelige, genererer den rette Linie et Keglesnit, der er fuldstændig ubestemt. Den Op- gave at trække en fælles Tangent til et saadant og en anden given Kurve, kan kun løses, naar denne reduceres til et Punkt; derimod kan man vel finde Systemer af Keglesnit, der opfylde visse Betingelser, og hvor man kan trække de fælles Tangenter til et vilkaarligt Keglesnit i Systemet og en vis anden Kurve. Er saaledes Ligningen mellem a og b a2 -j- ~r Aa -r = 0, maa den anden Ligning (se 11), forsaavidt den er irreduktibel, være af samme Form, men denne Form udtrykker som bekjendt, at det af den rette Linie genererede Keglesnit har et Brændpunkt i Begyndelsespunktet, altsaa: Dersom man skal kunne trække en fælles Tangent til et vilkaarligt Keglesnit med et Brændpunkt i et givet Punkt og en anden Kurve, maa denne være et Keglesnit med et Brændpunkt i det samme Punkt. Ved Transformationen reduceres Opgaven til Bestemmelse af Skjæringspunkterrie for to Cirkler (Keglesnittenes Fodpunktkurver med Hensyn til Biænd- punktet). 13. Medens vi i den oprindelige Opgave betragtede den rette Linie som fuldstændig vilkaarlig, saa at dens Ligning indeholdt to Størrelser, der kunde tillægges vilkaarlig© Værdier, ville vi nu betragte det Tilfælde, at den kun indeholder een saadan Størrelse, og der da navnlig søge Betingelsen for, at man ved Passer og Lineal kan bestemme en Kurves Skjæringspunkter med alle Linier gjennem et vist givet Punkt, som vi antage ikke horer med til Kurven. Tage vi det givne Punkt til Begyndelsespunkt, bliver den rette Linies Ligning y =, ax, hvor a er vilkaarlig, medens Ligningen for Kurven er f\x.y) - 0, hvis Koefficienter ere uafhængige af a, og som ikke tor tilfredsstilles af ./ —O, y — 0. Til Bestemmelse af x faa vi da f (x, ax) = 0, der maa være irreduktibel, dersom den givne Kurve er usammensat. Havde man nemlig /■(.r, ax) = ep (a, x). cpx (a, x), fik man, ved for a at sætte * , X Kurvens Orden maa da være en Potens af 2, f. Ex. 2*, og x maa kunne skoves med p Kvadratrodsstørrelser. Gives a en Værdi, for hvilken en af de inderste Kvadratrødder bliver Nul, falde de 2P Skjæringspunkter sammen 2 og 2, og det givne Punkt maa altsaa ligge paa