Om Ligninger Der Løses Ved Kvadratrod
Med Anvendelse Paa Problemers Løsning Ved Passer Og Lineal

34 en Linie, der skjærer Kurven i to og to sammenfaldende Punkter (Rorings- punkter eller Dobbeltpunkter). Vi se endvidere, at, dersom der er flere saadanne Værdier af a, eller dersom der er flere forskjellige Kvadratrodstegn, hvorunder der ikke atter staar Kvadratrodstegn, maa Punktet være Skjæringspunkt for flere saadanne Linier; vi tør natur- ligvis ikke deraf slutte, at Opgaven kan løses, dersom Punktet har en saadan Beliggenhed. Dersom Punktet ligger paa Kurven, bliver den Ligning, der bestemmer Skjærings- punkterne, n Grader lavere end Kurvens Orden, dersom det er et ndobbelt Punkt, og Kur- vens Orden maa da være 2? + ^; dersom nu Punktet \ke tillige ligger i en Linie, hvis øvrige Skjæringspunkter med Kurven falde sammen to og to, ser man som før, at p — 1. Der gives altsaa ingen andre Kurver end Keglesnittene, for hvilke man ved Passer og Lineal kan bestemme Skjæringspun .terne med en vil- kaarlig Linie gjennem et bekjendt Punkt, der ikke ligger paa Kurven eller paa en Linie, hvis Skjæringspunkter med denne falde sammen to og to. i j 14. Paa samme Maade behandles den mere almindelige Opgave, hvor man i Stedet for Straalebundtet betragter et System af rette Linier, der varierer efter en vis given Lov; vi kunne fremstille Systemet ved Ligningen y = x ep (a) + («), hvor de forskjellige rette Linier svare til forskjellige Værdier af a. Linierne indhylles af en vis Kurve, og vi kunne ved Passer og Lineal konstruere saamange langenter til den, som vi ville, idet Vi gaa ud fra vilkaarlig valgte Værdier af a. Skjæringspunkterne for en vilkaarlig af disse Linier og en given Kurve kunne i Almindelighed kun bestemmes, naar denne er et, Keglesnit; dersom den ikke er et Kegle- snit, maa den være af Ordnen 2p, og i det givne System af rette Linier maa dor være mindst een, der skjærer Kurven i Punkter, der falde sammen to og to. Undtages maa endvidere det Tilfælde, da den givne Kurve selv er den rette Linies Envelop. T dette Til- fælde faar den Ligning, der bestemmer Skjæringspunkterne, et Par lige Røddel og kan altsaa gjøres to Grader lavere. Paa den derved reducerede Ligning kunne da de samme Betragtninger anvendes. 15. Medens man ikke fra et vilkaarligt Punkt kan trække Tangenter til andre Kurver end Keglesnittene, er det undertiden muligt at løse Opgaven for andre Kurvor, naar Punktet ikke tages fuldstændig vilkaarligt, men tænkes beliggende paa en vis given Kurve, hr dennes Ligning b =■ <p (a), bliver Ligningen for en Linie gjennem et af dens Punkter