Om Ligninger Der Løses Ved Kvadratrod
Med Anvendelse Paa Problemers Løsning Ved Passer Og Lineal

35 y = ax-]-q, hvor q = ep (a) — aa. At denne Linie er Tangent til en given Kurve, udtrykkes ved en Ligning mellem a og q f\a, q) = 0, saa at Tangenterne bestemmes ved f(a, ep («) — aa) — 0, li der skal kunne løses ved Kvadratrod for alle Værdier af a, dersom Opgaven skal kunne løses ved Passer og Lineal; der maa da være mindst een Værdi af a, som gjor venstre Side af denne Ligni" til et Kvadrat, det vil sige, at der i Kurven b — ep (a) maa være mindst eet Punkt, for hvilket alle Tangenterne falde sammen to og to. Der gives altsaa ingen andre Kurver end Keglesnittene, til hvilke man ved Passer og Lineal kan trække Tangenter fra alle Punkter i en anden given Kurve, medmindre denne indeholder mindst eet Punkt, for hvilket alle Tangenterne falde sammen to og to. Som specielle Tilfælde af Sætningerne i 14 og 15 faa vi: Der gives ingen andre Kurver, hvis Skjæringspunkter med en vil- kaarlig Linie i given Retning vi kunne bestemme ved Passer og Lineal, end Keglesnittene og saadanne Kurver af Ordnen 2P, der skjæres af en vis Linie i den givne Retning i Punkter, der falde sammen to og to. Undtages maa en saadan Retning, i hvilken Kurven har et uendelig fjernt Punkt. Der gives ingen andre Kurver, til hvilke man ved Passer og Lineal kan trække Tangenter i en vilkaarlig, given Retning, end Keglesnittene og saadanne Kurver af Klassen for hvilke alle Tangenterne i en vis Retning falde sammen to og to. Undtages maa en saadan Kurve, til hvilken der i enhver Retning kan trækkes en uendelig fjern Tangent. Vi skulle endnu erindre om, at de angivne Betingelser for Kurver af højere end anden Orden ere nødvendige, men ikke tilstrækkelige. De geometriske Betingelser falde sammen med den tidligere (Pag. 21) angivne Betingelse for, at en Ligning kan løses ved Kvadratrod, idet denne netop forudsætter, at Ligningen kan skrives under Formen 712 = a B altsaa, for a — 0, faar Rødder, der to og to ere lige store.