Om Ligninger Der Løses Ved Kvadratrod
Med Anvendelse Paa Problemers Løsning Ved Passer Og Lineal

II. Almindelig Methode. Geometriske Steder. 1. Naar en Figur skal bestemmes ved geometrisk Konstruktion, og Opgaven er be- stemt, maa der være givet et Antal Betingelser, som Figuren skal tilfredsstille, der netop svarer til Antallet af ubekjendte Størrelser. Borttage vi en af de givne Betingelser, bliver Opgaven ubestemt, idet der da bliver et uendelig stort Antal Losninger, men disse danne et System, hvor enhver er uendelig lidt forskjellig fra den foregaaende. Betragte vi alle de Stillinger, som et mærkeligt Punkt i Figuren kunne indtage, ville de i Almindelighed danne en vis Kurve, Punktets geometriske Sted, ligesom enhver ret eller krum Linie i Figuren i alle sine Stillinger vil røre en vis Kurve, Enveloppen, som vi kunne kalde Liniens geometriske Sted. Den Methode, man i Almindelighed følger vod Losningen af en Konstruktionsopgave, bestaar derfor i, at man efterhaanden tænker sig en af de til Figuren stillede Betingelser borte og søger de geometriske Steder for Figurens mærkelige Punkter eller Linier, for at benytte disse til Bestemmelsen, forsaavidt de ere anvendelige ved Konstruktion med Passer og Lineal. Dersom det nu er givet, at et vist Punkt P skal falde i en vis Linie L, der strax kan afsættes, og hvis Beliggenhed i Forhold til de andre givne Stykker er vilkaarlig, er L selv det ene geometriske Sted. Dersom nu den Betingelse, at P skal falde i L, bort- tages, faar P et geometrisk Sted, og dettes Skjæringspunkter med L ere de søgte Punkter; dersom man, efter at L er borttaget, kan konstruere saa mange Punktor P, som man vil, faa vi følgende almindelige Methode: Alan finder to Punkter P, og en ret Linie gjennem disse kan da skjære L i det søgte Punkt; findes det søgte Punkt ik‘ke paa denne Maade, soger man endnu et Punkt og lægger en Cirkel gjennem de tre Punkter; der- som de Punkter, hvori denne skjærer £, ikke ere de søgte, søges endnu to Punkter P, og man bestemmer Skjæringspunkterne for L og det ved de 5 Punkter bestemte Keglesnit; dersom disse Punkter ikke ere de sagte, kan Opgaven ikke løses ved Passer og Lineal. Rigtigheden heraf følger let af Sætningen i 4. Da L er vilkaarlig og ikke an- vendes ved Konstruktionen af Punkterne P, maa det geometriske Sted for disse, efter hvad vi der have bevist, være et Keglesnit, for at Opgaven skal kunne løses ved Passer og Lineal. 2. Dersom vi borttage af Opgaven den Betingelse, at L skal gaa gjennem P, og da kunne finde saa mange Linier L, som vi ville, der tilfredsstille de øvrige Betingelser, udon at vi ved Konstruktionen benytte Punktet P, hvis Beliggenhed tænkes uafhængig af de andre givne Stykker, komme vi til en lignende Methode. Linien L indhylles nemlig af en vis Kurve, og den søgte Linie bliver Tangenten fra P til denne Kurve, som altsaa maa