Om Ligninger Der Løses Ved Kvadratrod
Med Anvendelse Paa Problemers Løsning Ved Passer Og Lineal

være et Keglesnit, for at Opgaven skal kunne loses ved Passer og Lineal. Da et saadant er bestemt ved 5 Tangenter, vil altsaa ogsaa i dette Tilfælde 5 Forsag være tilstrækkelige til at give os Losningen eller vise dens Umulighed. 3. De to Methoder reducere Opgaverne til følgende to: At bestemme Skæringspunkterne for en given ret Linie og et Kegle- snit, der er givet ved 5 af sine Punkter. At trække en Tangent fra et givet Punkt til et Keglesnit, der er be- stemt ved 5 af sine Tangenter. Af disse to Opgaver reduceres den ene til den anden ifølge Sætningerne om reci- proke Polarer, og begge reduceres de ved Pascals og Brianchons Theoremer let ti] føl- gende Opgave: 1 en given Trekant at indskrive en anden, hvis Sider indeholde hver sit givne Punkt. Lad den givne Trekant være ABC, den søgte abc, idet a falder i BC, bi AC, c i AB, medens de givne Punkter ere a i bc, ß i ac, y i ab. Soge vi at tegne den indskrevne Trekant, idet vi i Stedet for det ubekjendte Punkt b begynde med et vilkaarligt Punkt i AC med Abscissen xx (Begyndelsespunktet ubestemt), komme vi, naar vi ikke tilfældigvis have valgt det rigtige Punkt b, tilbage til et andet Punkt i AC med Abscissen x2. Til et Punkt xx svarer kun eet Punkt a?2 og omvendt, saa at der mellem disse maa gives en Ligning af Formen •ri <r2 ~ — ^ + ^ = 0, <let vil sige, de to Systemer x\ og x2 ere projectiviske (homografiske). xx — giver •z2 = /v, og x2 = co giver xx = l, saa at k og l blive de Punkter, der svare til de uendelig fjerne Punkter, og derved let bestemmes. Vælges det hidtil ubestemte Begyndelses- punkt midt imellem disse, bliver l — —k, og Ligningen altsaa --/CA‘ J —[*“ Åa/q (I zzz 0, . « Betegne vi det til xr — 0 svarende x2 ved m, bliver Ligningen a‘i -r2 + & — x\) — km — 0. i(or det søgte Punkt b er xx — x2, saa at det bestemmes ved x~ =. km, der viser, at man kun har at afsætte Alellemproportionalen mellem k og m til begge Sider ha Begyndelsespunktet, for at faa de to Losninger, der altid blive reelle, naar k og m faa samme Fortegn. 4. Dersom Opgaven fordrer, at et vist Punkt P skal falde paa en given Cirkelperiferi 5, hvis Centrum og Radius ere vilkaarlige og uafhængige af de andre givne Størrelser,