Om Ligninger Der Løses Ved Kvadratrod
Med Anvendelse Paa Problemers Løsning Ved Passer Og Lineal

3 5. Den Ligning, der har Redderne xr, x2 .... -r,, kan, som bekjendt, skrives (x — xj (x — x2).... (x — xj = 0. (2) Ifølge det Udviklede kan man sætte xr = A 4~ -B1 C, idet Vc er en af de i xv forekommende Rodstørrelser, der ikke atter staar under Rodtegn, medens A, B og C indeholde de andre Rodstørrelser. Forandres Fortegnet for i c, medens alle andre Fortegn lades uforandrede, faa vi en anden Kod x2 — A-—B ]HJ. Paa samme Maade kunne de andre Rodeler ordnes to og to, saa at to sammenhørende kun ere forskjellige ved Fortegnet for i c, og alle Parrene dannes af det første Par, ved at tage de i A, B og C forekommende Rodstørrelser med alle Kombinationer af Fortegn. Da mi (x — xt) (x — x2) = (x — A)2 — B2 C, kan altsaa venstre Side af (2) skrives som et Produkt af Faktorer af 2den Grad, hvoraf ingen indeholder ] c~, og som alle kunne dannes af en af dem ved Ombytning af Fortegn for de i den forekommende Rodstorrelser. Dersom n — 2p, vil der, idet pc er bortskaffet. i Almindelighed være p — 1 Rodstørrelser tilbage, idet venstre Side af (2) paa den angivne Maade er udtrykt som et Produkt af 2p_1 Faktorer af anden Grad. Skrives en af disse Faktorer under Formen Av -j- ^’i i hvor A og B foruden Rodstø frelserne kunne indeholde x, maa der være en anden Faktor a.-b.vc;. Sammentrækkes disse to, faar man og heraf dannes de analoge Produkter af to og to af de øvrige Faktorer ved at ombytte Fortegn for de tilbageværende p — 2 Rodtegn paa alle mulige Maader. Disse Faktorer blive nødvendigvis af fjerde Grad, da xi kun kan forekomme een Gang og ikke kan have Koefficienten Nul, naar x2 ikke havde den. Ved at fortsætte paa denne Maade, til alle Multiplikationer ere udførte, det vil sige p Gange, vil man have bortskaflet alle Rodstørrelserne, og altsaa være kommen ti] en Ligning af Graden 2P med rationale Koefficienter. Man ser let, at den Methode, der er anvendt til at bortskaffe Rodstørrelserne, falder sammen med den, at isolere een Rod- størrelse ad Gangen og kvadrere. 6. Det er muligt, at flere Bodstørrelser gaa bort samtidig, saa at man faar rationale Koefficienter, før Ligningen er bleven af Graden 2»; men vi se, at Graden i ethvert Til-