Om Ligninger Der Løses Ved Kvadratrod
Med Anvendelse Paa Problemers Løsning Ved Passer Og Lineal

4 fælde maa blive en Potens af 2. 1 dette Tilfælde behove vi, for at danne alle Rødderne af xx, kun at tage alle de Rodstørrelser med dobbelt Fortegn, der ere bortskaffede paa den angivne Maade, medens de Rodstorrelser, hvis Bortskaffelse ikke fordrer nogen Sammen- dragning af Faktorer, kunne tages med enkelt Fortegn. Da dette ingen Indflydelse faar ved Ligningens Dannelse, bliver det ligegyldigt, hvilket vi vælge. Ombytning af Fortegn for disse Rodstørrelser giver ikke x flere Værdier, men knn de samme Værdier flere Gange. Saaledes f. Ex. af xx — l/cz —|— ]/ b —I tt — \/b dannes alle Værdier, ved at tage x — + ]/ a 4- ]/ b + ]/a — ]/ b , medens Forandring af Fortegnet for j b ikke vil give ny Værdier. Man tor imidlertid ikke sige, at denne Ombytning vil lade enhver Rod uforandret, thi den kan lade en Rod gaa over til en anden; saaledes af }/tt + ]/ b — V a — \S b dannes Va — ]/ b — Va -|~ b , der er en anden Kod. Den tilsvarende Ligning er af fjerde Grad, da Udtrykket, uagtet det skrives med 3 Rodstørrelser, kun har fire Værdier. Ved at bortskaffe en af Rod- størrelserne, faar man x2 + 2x ]/a -L ]/b + 2 V b = 0, eller , x2 + 2 x Va — |/ b — 2 ]/ b — 0. I begge disse Ligninger vil O gaa bort, samtidig med at Rodstørrelsen af anden Orden bortskaffes. 7. Da den Ligning, hvis Redder ere xx, ...., og som er dannet paa den angivne Maade, har rationale Koefficienter, kan f(x) = 0 ikke have andre Rødder end disse, uden at være reduktibel, det vil sige, uden at kunne opløses i et System af Ligninger af laveie Grader, thi da den, som bevist, har alle de i den ny Ligning forekommende Rødder, maatte dennes venstre Side være en Faktor i f(x). Vi kunne nu udtrykke Resultaterne af denne Undersøgelse i følgende Sætninger: En irreduktibel Ligning, der kan løses ved Kvadratrod, maa være af Graden 2p. Naar en af Rødderne udtrykkes ved Rodstørrelser, mellem hvilke der ikke gives nogen Ligning af første Grad, vil man, ved enhver Ombyt- ning af Rodstørrelsernes Fortegn, atter faa en Rod i Ligningen, og man vil, ved at tage alle Kombinationer af Fortegn, faa alle Ligningens Rødder.