Graphische Behandlung Der Kontinuierlichen Träger mit festen, elastisch senkbaren oder drehbaren und elastisch senk- und drehbaren Stützen

7 8 linienzug konstruiert werden kann, wenn nur die beiden ersten Seiten, z. B. am linken Ende, bekannt sind. Von dem gesuchten Schlußlinienzug weiß man, daß die erste und letzte Seite durch gegebene Punkte gehen sollen (der Einfachheit halber setzen wir im folgenden voraus, daß M0 = 0 und Mn = 0, in welchem Falle die erwähnten Punkte mit dem ersten und letzten Stutzpunkte zusammenfallen) und weiter, daß die in Abb. 4 gezeigte, eben beschriebene Abhängigkeit zwischen den aufeinander folgenden Seiten bei jeder Winkelspitze erfüllt sein soll. Durch diese Bedingungen ist der Schlußlinienzug voll- ständig bestimmt. Läßt man eine einzige Bedingung fort, z. B. die, daß der Schlußiinienzug durch den letzten (wten) Stützpunkt gehen soll, können unendlich viele Schlußlinienzüge ge- zeichnet werden, die allen übrigen Bedingungen genügen; in allen diesen muß indessen jede Seite einen festen Punkt enthalten. Der Beweis läßt sich ohne größere Schwierigkeit mit Hülfe des in Abb. 4 gezeigten Zusammenhanges geometrisch führen; da indessen die rein graphische Konstruktion dieser Festpunkte ziemlich um- ständlich und wegen der Umständlichkeit auch leicht zu ungenau wird, weshalb wir unten deren Bestimmung teil- weise mittels Berechnung durchführen, ziehen wir hier vor, auch den Beweis mittels Rechnung zu liefern. — Zu diesem Zwecke müssen wir die Gleichungen 8'„ 4 - 8" = 0 in etwas anderer Form wie früher anschreiben. Indem wir der Kürze halber die Anzahl der Felder z. B. « = 7 annehmen, lauten dann die Gleichungen: Ci ^ 4- diX2 -|- e, X3 ^2 ^1 4“ C!^2 4~ d2X3 4- ®2-^4 « ^^ ^^^ ^ C3^3 +^3-^4 atX2 + ^4-^3 + C4 ^4 fls ^ + b3Xt Xi gegebenen Vertikalen gehen muß; man findet nämlich die hier abgeschnittene Ordinate Weiter sieht man ein, daß Ct und C2 und somit x und x' von der Belastung unabhängig sind und also berechnet werden können, indem man die Glieder B in 20) gleich Null setzt. Die Festpunkte, deren Existenz wir hier bewiesen haben, wollen wir im folgenden „J-Punkte“ nennen; in derselben Weise kommt man natürlich zu einer anderen Reihe von Festpunkten („TV-Punkte“), indem man von allen den gegebenen Bedingungen die einzige fortläßt, daß ^0 = 0 (oder gegeben) ist. Falls nur die eine dieser Reihen von Festpunkten, z. B. den J-Punkten, bekannt ist, kann der Schlußlinienzug eingelegt werden, indem man von der letzten Seite zwei Punkte kennt und von allen den übrigen je einen Punkt. Wie oben gesagt, ist indessen die direkte graphische Ermittlung dieser Punkte nicht sehr praktisch; dagegen läßt sich mit Vorteil ein gemischtes Verfahren anwenden, so daß man nur J2 (den J-Punkt der zweiten Seite) mittels Rechnung, und davon ausgehend die übrigen mittels graphischer Konstruktion herleitet. Für die durch- zuführende Berechnung hat man zuerst ein für allemal die Unterdeterminanten U1} U2...., die der letzten lot- rechten Kolonne der folgenden Determinante entsprechen, = ö, - #2 + e3X5 - B3 +^4^s+«tAr6 —Ei + C5^s + d3X64- e6X7 = B3 4 ^ ^ 4 c6 ^8 + ^6^7 = Ba D Bi + C2 wo der 21) die Br = K,. -j- Kÿ + Rr + R,- Die Koeffiziente auf linken Seite haben mit den Abkürzungen: folgenden Werte: «r = Pr-p b,. = ar ----------------pr_, — (p,. + V,.), ■ Cr = ßr + ßr + (pr + V,.) + (vr+1 + pr), dT ~ Ir (Vr+1 4 P,) Pr+p ^r Pr+p In den Gleichungen 20) ist X, (X„) nicht gleich Null gesetzt und somit diese Bedingung nicht eingeführt; wir haben somit sechs Gleichungen mit sieben Un- bekannten, also unendlich viele möglichen Schlußlinien- züge. Eliminiert man alle die unbekannten bis auf zwei aufeinander folgenden, z. B. X3 und X4, ergibt sich: 23) CiX3+C2Xt=D, und daraus kann gefolgert werden, daß die durch X3 und X4 bestimmte Schlußlinie (Abb. 5) durch einen festen Punkt auf der durch die Abstände zu bilden. Aus der Gleichung [entsprechend 23)]: e, 0 0 0 0 CiXi+dxX2-B} d2 e2 0 0 O b2Xi ~\-c2X2— B2 c3 d3 e3 0 0 a3T, 4-63X2 — 53 _o ^4 C4 ^4 «4 0 «4^2 — ^4 «5 J5 C5 d, e5 —B, 0 «6 ^G C6 ^6 — B, erhält man nämlich, indem alle B gleich Null gesetzt werden, die Abszisse x zum Fußpunkte der J2-Vertikaleu 23 a) (da X2 = 0): X — ______________ _^1 ^ + C2 ^2 + ^^ + «1 /4, _______ (C1 + d^) Ui + (^2 + C2) ^2 +• (a3 + &3) U3 + «4 Uf 2’ und die Ordinate zum J2-Punkt (nach 23 b): jo j _ _________Bi Ux + B2 U2 + ...B^^ü^ __________, (Ci + d^ Ut 4- (b2 4- c2) U2 + (a3 + b3) U3 + aiUi' nach 24) 24 a) 23 a) die beiden letzten Formeln sind gleich für den Fall einer beliebigen Anzahl (n) Felder aufgeschrieben. Wenn der Abstand H, J“ = x (Abb. 6) nach 24) berechnet ist, konstruiert man einen beliebigen Schluß- linienzug durch ao und J“, derselbe schneidet dann die Achse in dem übrigen J"-Punkte. Die Konstruktion ist in Abb. 6 gezeigt; a^ und ata2 werden willkürlich gezogen; die ganze Richtungsfigur, außer is'i, kann sofort gezeichnet werden (gs\ ist wagerecht), und indem die (I-Punkte in der Achse liegen, findet man hierdurch S'. und mittels S[ 0t dann S^ und somit die Richtung is[ der Schlußlinie a2a3. — In derselben Weise findet man,