Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

212 111. Kapitel. 14 (511 a 2.) Tooto toivov vo^tov pev to eldoq s2c- •j-ov, bnoftéaeot d? d.va-fxa^opévTjV <l>uX‘bv XPV' adat tts/h Trpv ^vfjaiv abwb, obx én dpyyv tobaav, coq ob dovapévrjv tcov bnodécrecov dvcoTtpo) éxftalvetv, slxoai Je ^pcopévrjv ab- Totq Toiq ond tcov xutco dnetxaødsioiv xa't éxe’ivoiQ npbq éxstva d)Q évapyéat dedo^acr- uévotq te xat TETipypevotq. Denne Art betegner de altsaa som Gen- stand for Tanken, men Sjælen er ved Undersøgelsen derat nødt til’at betjene sig af Forudsætninger, uden at gaa til den første Grund (thi den kan ikke gaa ud over disse Forudsætninger), og den bruger som Billeder selve de Ting, hvoraf der gives Billeder i den lavere Sphære, og som i Forhold til disse er anerkendte og agtede som haandgribehge. Ved den følgende Replik i den anvendte Dialogform bekræftes, at der særlig Lales om Geometrien. Om de i denne brugte Figurer siges altsaa, at de tegnede Figurer kun er Symboler paa de geometriske Figurer, hvis Egenskaber man i Virke- ligheden udleder af de om dem gjorte Forudsætninger. Derved egner de sig ogsaa til at anvendes som Symboler ved Behandlingen af Størrelser i Almindelighed. Netop paa denne Anvendelse maa Platon tænke, naar han i „Timaios siger. (32 a 7.) s.’ pev obv émnedov pév, ßddoq de prjdkv e‘/ov Idet xq-veadat to too navToq acopa, pta pEaoTXjq av é^rjpxet to. ts petP abvqq aov- deiv xa't éaoTTjV, vov de aTepeoeidy yap aoTov npocrqxev etvat, Ta de OTspea pta pév obdé- TtoTs, doo de de't peaoTYjTeq aovappoTTooatv. ootco dy nopöq te xa't pjq bdcop dépa Te b debq év péacp detq, xa't npbq d'AAyÅa xah' baov yv dovaTov av a tov aowv Åbyov dnep- Taadpevoq, oTtnep nbp npbq dépa, tooto dépa npbq bdcop, xa't oti dyp npbq bdcop, bdcop npbq pyv,. . Hvis nu Alverdenens Legeme skulde være en Plan uden Dybde, saa vilde én Mellem- proportional liave været tilstrækkelig lil at forbinde de andre Led og sig selv. Men da det skulde have det rumliges Beskaf- fenhed, og det rumlige aldrig forbindes ved én, men ved to Mellemproportionaler, har Gud imellem Ild og Jord sal Vand og Luft og saa vidt muligt bragt dem i samme Forhold til hinanden, saaledes at Ilden forholder sig til Luften som Luften lil Vandet, og som Luften til Vandet saa- ledes Vandel til Jorden. Vi kan her se bort fra den vilkaarlige Anvendelse al geometriske Proportioner, ligeledes fra at Platon ikke helt kan løsrive sig fra det, som dog kun vedkommer den geometriske Symbolik; han fastholder den vel netop, fordi selve den abstrakte Betragtnings Gyldighed er saa nøje knyttet lil denne; men allerede mod de rent mathematiske Paaslande har Proklos1) indvendt, at der ogsaa existerer lo Mellem- ’) I en Note S. 184 ff. til hans her citerede Oversættelse mener Heise, som anfører Proklos’ Ind- vending, i Tilslutning til flere ældre Forff. at komme ud over den her berørte Vanskelighed ved den Antagelse, at Platon kræver, at ogsaa Forholdene mellem de indskudte Tal skal være rationale, altsaa ogsaa Forhold mellem hele Tal. Om en saadan Fordring siger Platon ikke et Ord; men, som vi viser ovenfor, stemmer hans Ord med den Fremstilling af Forhold ved geometriske Symboler, som tværtimod bliver uafhængig af, om de Størrelser, vi har kaldt a og b, er kommensurable og Forholdene altsaa rationale. Det var vel først paa Platon’s Tid, at Eudoxos gav en arithmetisk-algebraisk Forklaring af, hvad Proportionerne i saa Fald betyder; men Fremstillingen brugtes i det mindste siden Hippokrates uafhængig heraf.