Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

17 Platons Krav til en rationel Mathematik. 215 Skønt vi mere kommer til at beskæftige os med Geometrien, faar dette Stykke om Arithmetiken ikke ringe Betydning for os, fordi Skildringen af det rene Talbe- greb tillige tjener til Prøve paa det Krav paa Renhed, som ogsaa skal stilles til de geometriske Begreber; thi ogsaa for Geometriens Vedkommende lægges der fra Platon’s Tid af an paa, gennem „den rene Tænkning at komme i Besiddelse af den rene Sandhed.“ Platon’s Ord yder et Bidrag til den rette Forstaaelse af Euklid’s arithmetiske Bøger og vil da i Forening med dem vise, hvor vidt man allerede paa Platon’s Tid maa være kommen i Retning af det samme Talbegreb, som Euklid gaar ud fra. Det maa da fremhæves, at dette Begreb om Enhed og derved om Tal, som efter Platon ikke tør anvendes paa benævnte Tal og i Sammenhæng dermed heller ikke tilsteder Brøkdannelse, er forskelligt fra det, som vi nu gaar ud fra. Vi taler vel ogsaa om rene eller ubenævnte Tal, deriblandt først Enheden og de hele Tal. Operationer med dem frembyder for os den Fordel, at de bliver anvendelige, hvil- ken Benævning man end derefter giver Tallene. Vi kan da ogsaa „skære Enheden i et Antal lige store Stykker“ og tage dem til ny Enhed og derved faa Brøker. For de Mathematikere, som Platon omtaler, og for Euklid er derimod Enheden og dermed de øvrige hele Tal Regnesymboler, med hvilke der opereres efter bestemte Regler, og først disse lærer, hvad Enhed og Tal er, idet man faar at vide, hvad de bruges til. Derfor kan Euklid’s Definition paa Enhed ikke sige andet, end at det er et Begreb, som man vil faa Brug for. Euklid VII, Def. 1 siger: Movdq éartv, exaazov r<i)v ovtcov sp Åéyerai (Enheden er det, efter hvilket hver enkelt ling kaldes én), og Def. 2, al et Tal er den Mængde, som bestaar af Enheder, altsaa hvad vi nu kalder et helt Tal. Definitionen paa Tal giver allerede Anvisning paa Tælling som den første Tal- operation og som Middel til at sammenligne, addere og subtrahere dem; men Reg- lerne for de øvrige Operationer gives i Proportionslæren, i hvilken man i Virkelig- heden opnaar det samme, som vi nu opnaar ved Brug af Brøker. Herpaa peger ogsaa Platon, naar han siger, at Mathematikerne, naar man vil skære Enheden i Stykker/(f. Ex. dele den i 5 ligestore Dele og tage 3, altsaa danne Brøken |), strax mangfoldiggør den (hvad man gør, naar man lader to Størrelser forholde sig som Tallene 3 til 5). Hans Bemærkning viser iøvrigt, al Tanken om en Deling, altsaa om Brøkdannelse, ikke har ligget ham fjernt; vi ved ogsaa, at man i den græske Logistik brugte de fra Ægypten arvede Stambrøker (Brøker med Tælleren 1). Platon vil netop fremhæve, at Mathematikerne tager Afstand fra Brøkdannelse, saa vel som fra enhver Brug af benævnte Tal, der selvfølgelig var den Forbindelse, hvori lal brugtes i det daglige Liv. Her er altsaa Tale om et valgt og villet System, som Mathematikerne lagde til Grund for en exakt og rationel Behandling, og det er dei samme, som for Arithmetikens Vedkommende findes hos Euklid. Forberedt er dog naturligvis dette System ved Pythagoreernes praktiske Anvendelse af Forhold og Proportioner. Denne er vistnok ogsaa fortsat i den græske Logistik, og at den 29 D. K. I). Vidensk. Selsk. Skr., naturvidensk. og mathem. Afd., 8. Række, I. 5.