Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

23 Platons Krav til en rationel Mathematik. 221 Hvorledes han dog i det mindste har haft det for Øje, skal jeg i flere af de føl- gende Kapitler søge at paavise og derved tillige at bidrage til en bedre Forstaaelse af Euklid’s berømte Værk. Kap. IV. Den „analytiske Methode“; „Elementer“. Her rejser sig nu det Spørgsmaal, om Platon selv paa anden Maade end ved saadanne almindelig holdte Udtalelser som dem, vi her har anført, har bidraget til at give Geometrien, og dermed den i geometrisk Form iklædte Algebra, en saadan ideel Skikkelse som den, vi træffer hos Euklid. Det er ikke om en Udvidelse af den geometriske Viden her er Tale, men om en Overgang fra en mere intuitiv Tilegnelse af denne til en sammenhængende rationel Begrundelse, som gaar ud fra de allerenkleste Forudsætninger. Det er netop disse og den Maade, hvorpaa den mere intuitive Viden er sammensat eller dog lader sig sammensætte af dem, som man ikke har gjort sig Rede for under den intuitive Tilegnelse. Spørgsmaalet derom var imidlertid forlængst rejst ved Opdagelsen af irrationale Størrelser, og dets Behandling var paa delte Omraade efterhaanden naaet ti] en vis Fuldkommen- hed (se Oversigt 1910 og 1915). Efter Opdagelsen af, at (2 er irrational, laa det straks nær intuitivt at antage, at Kvadratrødderne af andre Ikke-Kvadrattal ogsaa maatte være det; men dette Spørgsmaal, hvis Interesse er rent rationel, maatte kræve en rationel Besvarelse. Den negative Bestemmelse: irrational, blev ført tilbage til Bestemmelsen: inkommensurable Størrelser, som vel formelt ogsaa er negativ; men der lader sig dog opstille en Regel for, ved Anvendelse af Bestem- melsen af største fælles Maal, at prøve, om Størrelser er kommensurable eller inkommensurable. Det er ikke svært at paavise Irrationalitet af Rodstørrelser, naar man først kan gaa ud fra, at et Primtal ikke kan gaa op i el Produkt uden ot gaa op i en af Faktorerne. Dette sidste vil vel ingen nægte, som har nogen Fortrolighed med Talbehandling; men han kommer i Forlegenhed, naar man spørger: hvorfor. Her er altsaa i Virkeligheden kun Tale om en intuitiv Viden; en rationel Besvarelse faas først, naar man gaar tilbage til et klart opstillet Tal- begreb. Saaledes maa Theaitet være kommen til det Talbegreb, som Platon til- lægger Mathematikerne. Gaaende ud fra dette og den Operation, som bruges ved Bestemmelse af største fælles Maal, har han dernæst bevist den nævnte Sætning og dermed de antagne Sætninger om Rationalitet og Irrationalitet. De her beskrevne Betragtninger udgør den ved Theaitet og hans Forgængere udførte Analyse af de Sætninger, som skulde prøves, efterfulgt af en Synthese,