Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

25 Den „analytiske Methode“; „Elementer“. 223 yevouq to &)To6pevov cbq bv uxodépevoi xa'i å)Q dkfftéq, eTca dia tcou é^q dxoÅovDcov a>q dhjdiov xai ibq eaTiv xad' undHeaiv TrpoeMov- Teq ém ri bpoXofobpevov, eav péu ahfteq éxéivo to öpoÄofoijpevov, dkrjdeq eaTai xa'i to Z^Toüpevov, xai 7] arrodei^iq duTiaTpoipoq rb dvaÅuaei, éav de ißeddei bpobofoupevcp éuw- %a>pev, (ßeödoq eaTai xai to tyroupevov . éjti de too npoßÄypaTixob fevouq to npoTatieu cbq fvcoadkv bitodépevoi, éiTa dia tmv e&jq dxo- Xoudcou cbq dkfjdibv TtpoeÅdovTeq ti bpoXo- ■foüpevov, édv pev to bpoboyobpevov duuaTov % xai Ttopiawv, ?> xaÅouaiu ot dub tcov padrj- paTiov dodév, duvaTou eaTai xa'i to npoTadév, xai 7tdÅiu i/ aTZodet&q dvTiaxpocpoq T7f dvaÅuaei, eau de ddovaTcp bpobofoupéucp évw^copev, ddavawv eaTai xa'i to npdßhjpa. ’) kaldes problematisk. I den th eor etiske Analyse forudsætter vi, at det undersøgte virkelig forholder sig saaledes [som det paastaas], derpaa gaar vi Skridt for Skridt gennem det, som videre følger deraf, idet vi forudsætter det som sandt og virkeligt, til en logisk Konsekvens; hvis saa Konse- kvensen er rigtig, vil ogsaa det omspurgte være det, og Beviset vil i omvendt Orden svare til Analysen; kommer vi derimod til en urigtig Konsekvens, vil ogsaa det omspurgte være urigtigt. I den proble- matiske Analyse derimod betragter vi det, som forlanges, som bekendt og gaar derpaa Skridt for Skridt gennem det, der følger deraf som rigligt, til en logisk Kon- sekvens; hvis saa denne Konsekvens er mulig og kan tilvejebringes (hvad Mathe- matikerne kalder „givet“), er ogsaa det forlangte muligt, og atter vil Beviset svare omvendt til Analysen; men hvis man om- vendt kommer til en umulig Konsekvens vil ogsaa Opgaven være umulig. Beskrivelsen af disse to Analyser er tydelig nok; og navnlig vil den negative Anvendelse af den theoretiske Analyse til at bevise Urigtigheden af en Antagelse og Anvendelsen af den problematiske Analyse saavel til at finde Løsningen af en Op- gave som til at bevise dens Umulighed til alle Tider være anvendt i inathematiske Undersøgelser. Pythagoreerne har f. Eks. brugt den første til at bevise, at j/2 ikke er en Brøk, og hvad der overhovedet menes med en eller anden Opgave, forstaas jo først samtidig med, at man tænker den løst. I vore Dage giver man Analysen en bestemt Form ved at kalde en søgt Størrelse x og opstille og løse den Ligning, som udtrykker, at den virkelig tilfredsstiller den opgivne Betingelse. Al man ogsaa i Oldtiden var sig Brugen og Betydningen afen Analyse og en dertil knyttet Synthese fuldt bevidst, fremgaar af ovenstaaende Beskrivelse, der netop bliver bestemt og almindelig ved sin Korthed. Forstaaelsen af bande den heuristiske og logiske Værdi af disse Opera- tioner træder endvidere frem i den regelbundne Leddeling af Theoremer og Problemer og den dertil hørende Analyse og Synthese; af disse nøjedes man i en systematisk De her brugte Udtryk, særlig Suvarou og åduvarov, bekræfter den Anskuelse, jeg længe har gjort gældende, og ligeledes i det følgende hævder, at de gamle „Problemel'“ særlig gaar ud paa at bevise Muligheden eller Eksistensen af det, som i dem konstrueres. I). K. D. Vidensk. Selsk. Skr. naturvidensk. og mathem. Afd., 8. Række, I. 5. 30