Bestemmelse Af Spændinger I Plader Ved Anvendelse Af Differensligninger

14 er bedst for den kvadratiske Plade, for hvilken Spændingerne ved en ensformig fordelt Belastning findes ca. 12 % for store. Da Navier12) i 1821 opstillede de elastiske Grundligninger, fik man nye Midler til Behandlingen af den elastiske Plade. Cauchy, som var Medlem af Kommissionen til Bedømmelse af den i 1820 af Navier ind- sendte Afhandling om rektangulære Plader, fandt, at man i isotrope Legemer maa regne med to Elasticitetskonstanter 13), medens Navier kun havde angivet een elastisk Konstant. Baade Cauchy14) og Poisson 15) opstillede ved Hjælp af de elastiske Grundligninger Relationer mellem Spændingerne og Formforandringerne i en Plade og udledede heraf Dif- ferentialligningen til Bestemmelse af Nedbøjningen, og Poisson udførte bl. a. Løsningen for en fuldstændig symmetrisk belastet cirkulær Plade. Poisson opstillede Kantbetingelserne for en Plade paavirket af Kræf- ter vinkelret paa Pladens Plan og angav for et vilkaarligt Element af Pladens begrænsende Cylinderflade tre Betingelser, idet nemlig det bøjende og det vridende Moment saml den lodret forskydende Kraft (Transver- salkraften) i vedkommende Element antager bestemte Værdier, som svarer til Form forandringen i Pladen, og disse Momenter og Kræfter maatte holdes i Ligevægt af tilsvarende ydre Momenter og Kræfter. Kirchhoff16) har paavist, at disse Betingelser ikke i Almindelighed kan ventes op- fyldt, saaledes at Opgaven kun kan løses i særlig simple Tilfælde, som f. Ex. ved den fuldstændig symmetrisk belastede cirkulære Plade, hvor det vridende Moment langs Kanten forsvinder. Kirchhoff har dog lier- ved indført forskellige tilnærmende Forudsætninger. Han forudsætter, l) al rette Linier vinkelrette paa Pladens Midlerplan ogsaa eller Formfor- andringen vedbliver al være rette Linier, som er Normaler til Pladens Midterflade, og 2) al et Element af Midterplanen ikke vil strækkes ved Formforandringen. Med disse Forudsætninger linder Kirchhoff ved An- vendelse af det virtuelle Arbejdes Princip den samme Differentialligning som Poisson, men kun to Kantbetingelser. Forklaringen paa den tilsynela- dende Uoverensstemmelse mellem de af Poisson og de af Kirchhoff fundne Resultater er angivet af Kelvin og Tait17), som viser, at de to af Pois- sons Kantbetingelser for tynde Plader kan sammenfattes til en af Kirch- hoffs, idet bestemte Spændinger og Formforaud ringer i Pladen svarer til uendelig mange sammenhørende Værdier af Transversalkraft og vridende 12) Paris. Mém. Acad. Sciences, 1827. Afhandlingen blev forelagt Akademiet i 1821. 18) Sur les équations qui expriment les conditions d’équilibre ou les lois de mouvement intérieur d’un corps solide, Exercises de mathématique, 1827 og 1828, Som Konstanter er nu almindeligst anvendt Elasticitetskoefficienterne E og G samt Poissons Forhold M sædvanlig Betegnelse 1), af hvilke den ene som bekendt \ m / kan udtrykkes ved de to andre. 14) Sur l'équilibre et le mouvement d’une plaque solide, Exercices de mathématique, 1828. J5) Mémoire sur l’équilibre et le mouvement des corps élastiques, Mém. Paris Acad., 1829. 18) Crelles Journal für reine und angewandte Mathematik, Bd. 40, 1850. 17) Thomson and Tait, Natural Philosophy, 1. Udgave, Oxford, 1867; 2. Udgave, Cam- bridge, 1879—83.