Bestemmelse Af Spændinger I Plader Ved Anvendelse Af Differensligninger

§ 1. 24 Da de vridende Momenter, som hidrører fra de vandrette Forskyd- ningsspændinger, er lige store i to paa hinanden vinkelrette Snit, vil Middelværdien af det vridende Moment i Snit h1 — h9 tilnærmelsesvis være lig med Middelværdien af det vridende Moment i Snit ex — fi- Sættes disse to Momenter lige store, faas analogt med Lign. (6) Qcd Qab Ag Af Lign. (3), (6) og (7) faas (A2M01 + AaMw. (Ay2 AxAy/ (A2Mx 2 A2M, AM - P 4x2 AxAy Ay2 AxAy (8) Lign. (8) er enlineær partiel Differensligning af 2den Orden. Der- som de bøjende og de vridende Momenter for hvert enkelt Element kan bestemmes saaledes, at Lign. (8) tilfredsstilles, vil der være Ligevægt mellem Belastningen og Snitkræfterne for en vilkaarlig Del af Pladen, som tænkes udskaaret. Ved Opstilling af Relationerne mellem Momenterne Mz, M^ Mv og Nedbøjningerne z, der regnes positive i samme Retning som Belastnin- gen, forudsættes, at Pladens Formforandring udelukkende skyldes de bøjende og de vridende Momenter. Kaldes Pladens Nedbøjning i Punkterne e, f og g henholdsvis Ze, Zf og Zg, og antages Mz og Mg at variere retliniet paa Strækningen e — f — g, har man Ze — 2z/ + z _A2z Ax2 Ax2 1 EI (Mx My), og analogt hermed Az 1 — - = ---— (Mx — uM.). Ay2 EI y (9) 1 disse Ligninger indføres Mz og My med de i Punkt /' gældende Værdier. Formforandringen af et Element ikfe paa Grund af det vridende Moment M„ kan regnes at hidrøre fra et over hele Elementet ensformig fordelt vridende Moment Møa, hvor Mpa er det vridende Moment i Ele- mentets Midtpunkt. For et bestemt Punkt af en vandret Plade kan de bøjende og de vridende Momenter i to vilkaarlige lodrette, paa hinanden vinkelrette Snit udtrykkes ved de bøjende Momenter Mx og My og det vridende Mo- ment Mv paa lignende Maade, som Spændingerne i to paa hinanden vinkelrette Snit ved en plan Spændingstilstand kan udtrykkes ved Nor- malspændingerne Gæ og Öy og Forskydningsspændingen T*). Ligningerne kan i begge Tilfælde udledes paa samme Maade og bliver derfor nøj- agtig de samme. *) Udledelsen af disse Ligninger findes i Ostenfeld: Teknisk Elasticitetslære, 1916, Side 66. Udledelsen af de tilsvarende Relationer mellem de bøjende og de vridende Mo- menter findes f. Ex. i Ârpàd Nådai, Die Formänderungen und die Spannungen von rechteckigen elastischen Platten, Berlin, 1915, Side 6.