Graphische Behandlung von Bogenträgern über mehreren Oeffnungen und mit (in wagerechter Richtung) elastisch nachgiebigen Unterstützungen.

331 A. Ostenfeld, Graphische Behanplung von Bogenträgern Uber mehreren Oeffnungen usw. 332 eingelegt, und man hat dann mit den Bezeichnungen in Abb. 19, dalå die Geraden S'rZ'r und S"rYr die Stützen- vertikale in den Punkten b'rund b,. treffen, und daß die Verbindungsgerade T^T^ durch O,. geht. Wenn eine will- kürliche Seite des Schlußlinienzuges bekannt ist, kann mittels dieses geometrischen Zusammenhangs die folgende Seite konstruiert werden: S'Z,. führt zu b' und T.O. zu T”. Indem wir jetzt zum Bogenträger zurückkehren, wird sich zeigen, daß wir hier einen ähnlichen Zusammenhang zwischen den H- und J-Polygonen wie beim Träger in Abb. 1 b erhalten, und namentlich, daß man beide Polygone konstruieren kann, sobald die beiden ersten Seiten («„«, und b'ub\ in Abb. 18) bekannt sind. Um zu diesem Er- gebnis zu gelangen, wird es praktisch sein — wenn auch nicht absolut notwendig*) — zuerst die Gleichung 20 a) so umzuformen, daß sie åXr nicht enthält. Mit der ab- kürzenden Bezeichnung: 29) AX^ = ^-[x'iiï^ + X,^ läßt sich 21 a) schreiben: AXrTr = - H,Xr + (H, - H^}^ + AX»tr, und durch Einführung in 20 a) erhält man dann: Hr-t^r-x + H,.^kr_t-\- ^-[ - år~ +kr—Qr - [AX,.,»,., + X^.ß^.+X;«]! - AX^r]. Diese Gleichung hat dieselbe Form wie Gleichung 4) für den Träger in Abb. la und würde daher zu derselben Konstruktion des H- Polygons hier wie für diesen Träger führen, wenn nur die ganze rechte Seite bekannt gewesen wäre. Da die Koeffizienten der linken Seite doch etwas verändert sind, findet man nach 6) eine andre Lage der 0- und CT-Vertikalen wie früher, nämlich (positiv nach rechts) : «r-i — k,. +qr~- 31) ArOar = -------------5 - AJ + a; und wenn man die (/"-Vertikale sich ins Unendliche ent- fernen läßt (cfr. 9 b), was in der Wirklichkeit die einfachste Konstruktion gibt: 32) , ArU^ = ------------- A? + a; Im folgenden gehen wir jetzt von 30) samt 21 a) — 22a) aus. Nach 30) könnte das //-Polygon konstruiert werden, wenn die ganze rechte Seite, und damit die Ordinaten der O-Punkte, bekannt wäre, und nach 21a) — 22 a) könnte ebenso das X-Polygon gezeichnet werden, falls nur die Größen H auf der rechten Seite, und damit die charakte- ristischen Punkte (siehe 27), bekannt. Jetzt kennt man indessen nicht diese Größen im voraus, und wir beginnen daher wie früher damit, die Ordinaten der O-Punkte und der charakteristischen Punkte in zwei, Teile, einen be- kannten und einen unbekannten, zu teilen. Für das //-Polygon braucht man nur die O-Punkte. Man setzt O°Or = 06rPr + P,.Or, wo [siehe 30), mit 5) und 7) verglichen]: *) Man könnte zwar die Gleichung 20 a) unverändert be- nutzen und würde dadurch den Vorteil erreichen, dieselben U- und O-Vertikalen im //-Polygone zu behalten wie bei den Trägern in Abb. la und 1b; die Konstruktion einer neuen Polygonseite würde dann aber jedesmal die Bestimmung des gemeinsamen Punktes für zwei ähnliche Punktreihen auf der- selben Geraden mit sich führen, und wenn auch diese Aufgabe an und für sich einfach genug ist, würde doch die Konstruktion als Ganzes dadurch zu umständlich gemacht werden. o°p = ------------ a;+a;#/ 33) ,. 0 .__ ax^v, +X" ,3t, +xx-Ax;a,. A" + A'. '? Für das X-Polygon muß man dagegen von den charakteristischen Punkten Gebrauch machen, und man setzt daher US = UQ + QS, wo [siehe 21a) — 22 a) in Verbindung mit 25) und 27)]: 34) ßr-t 4” ar Pr P ®r+l O'S' Hr&r (Hr Hr+t)qr ßr-1 4“ ^r Q"S^ = Hr^r+i + CHr ~ Hr+i)qr, wenn man, außer den O-Punkt mittels der Verbindungs- geraden S^S"r zu bestimmen, noch die O-Ordinate direkt zu finden wünscht, bekommt man hierzu: 0^0,. = O°P,. + PrOr, wo (siehe 23): 35) O°rPr = - - P O = - -^ H^r+y indem, wie früher, ß^, + ar + ß'j 4 - a';+i - ^ gesetzt wurde. Die Ausdrücke 35) sind genau mit 16) für den Träger in Abb. 1 b identisch. — Die Punkte P und Q können eingelegt werden, so- bald die Belastung bekannt ist, dagegen sind die Strecken PO und QS vorläufig un- bekannt. Der nächste Schritt ist jetzt, die Angabe einer Kon- struktion dieser Strecken PO und QS, indem die in den Ausdrücken 33) und 34) ein- gehenden H und X als be- kannt vorausgesetzt werden. In Abb. 20 ist von den durch 34) gegebenen Strecken QS die Rede, und die Seite arar+i des //-Polygons wird als bekannt betrachtet. Man zieht die Geraden ara,.+l und ar+1 a'r parallel der Achse, so daß ardr = dr+l ar+, = Hr — Hr+1, und weiter die vier Strahlen Cd,., C ar, C"ar+x, C"d,.+I, indem die Punkte C und C in den be- liebig gewählten Abständen c und c von X, .und A,.+I in der Achse liegen; die Strahlen werden, wie in der Abbildung, 1, 2, 3, 4 numeriert, so daß die mittlern Strahlen (2 und 3) von den Eckpunkten a,., und ar im //-Polygone ausgeheu. Indem wir annehmen, daß mit den Einheiten Tons und Meter gerechnet wird, und daß der Maßstab im //-Polygone l era ~7c‘ und im X-Polygone 1 cm ~» mt ist, werden in Abb. 20 b fünf Vertikalen ein- gelegt, mit den gegenseitigen Abständen: und man zeichnet ein Polygon 1—2—3—4, dessen Seiten den erwähnten Strahlen in Abb. 20 a parallel sind, sowie eine wagerechte srs',. durch den Punkt der mittelsten Vertikale, wovon die Seiten 2 und 3 ausgehen. Die stark ausgezogenen Strecken qrsr und qrsr sind dann den ge- suchten Größen QS gleich und können ohne weiteres mit dem Zirkel nach dem X-Polygone übertragen werden. Die Richtigkeit der Konstruktion folgt leicht bei Benutzung