Graphische Behandlung von Bogenträgern über mehreren Oeffnungen und mit (in wagerechter Richtung) elastisch nachgiebigen Unterstützungen.

333 A. Ostenfeld, Graphische Behandlung von Bogenträgern über mehreren Oeffnungen usw. 334 der Aehnlichkeit. Wenn die Buchstaben q und s wie in Abb. 20b angebracht werden (s und s" liegen in der Achse, q und q" sind Anfangs- und Endpunkt des Poly- gones 1—2 — 3 — 4), soll die Uebertragung nach dem ^•Polygone rein mechanisch ausgeführt werden, so daß die Punkte Q und S über- oder untereinander zu liegen kommen, ganz wie q und s. — Uebrigens lindet man auch die durch 35) gegebene Größe PrOr in einfacher Weise in Abb. 20 b. Wenn man nämlich die Strecke srs'r durch s'o U'0" den Punkt o,. im Verhältnis r !', = (es sind dies orsr O°Ur die U- und Ou- Punkte im J-Polygone) teilt, so wird p,.or = P,Or als Ordinat der Verbindungsgeraden qrqr gemessen; infolge 35) würde man indessen den richtigen Wert von PrOr finden, selbst wenn in 34) die von der Differenz (Hr— Hr+i) abhängigen Glieder nicht mit- genommen wurden, und mithin muß in Abb. 20b pror auch als Ordinate zur Verbindungsgeraden zwischen den Punkten gemessen werden können, wo die Polygonseiten 2 und 3 die äußersten Vertikalen schneiden. Man braucht daher nicht die erwähnte Teilung der Strecke srs'r auszu- führen, sondern findet unmittelbar pr als Schnittpunkt der beiden genannten Verbindungsgeraden. — In manchen Fällen wird es am einfachsten sein, die Punkte C und C" im Mittelpunkte zwischen Ar und 4,.+l zusammenfallen zu lassen; doch kann es auch von Vorteil sein, beide Längen c und c" frei wählen zu können, um dadurch eine passende Größe der Fig. 20b zu erreichen. Demnächst ist in Abb. 21 die Konstruktion der durch 33) gegebenen Ordinaten PO gezeigt. Vom X-Polygone werden die Punkte br_t, b"r_v b'r als bekannt voraus- gesetzt, und ebenso der Punkt b^, indem AX^. [siehe 29)] — b\br ist. Man zieht die Strahlen b'^D', b'r_ ^, brD" und b^D", indem die Punkte D' und 1)' in den beliebigen Abständen d' und d" von Br_t und Br gewählt werden; die Strahlen werden, wie angegeben, numeriert, so daß sie in der Ordnung nacheinander folgen, worin man die Punkte b'r l, b'^.... trifft, wenn das J-Polygon durchlaufen wird. — Weiter werden in Abb. 21b fünf Vertikalen ein- gelegt in den gegenseitigen Abständen: Ibb.^ und ein Polygon 1—2 — 3 —4 wird gezeichnet, dessen Seiten den Strahlen in Abb. 21a parallel sind, die Schlußlinie q^ wird eingelegt, und ebenso die wage- rechte s,.s",. durch den Punkt der mittelsten Vertikalen, wo- f/y von die Polygonseiten 2 und 3 ausgehen. Die gesuchte Strecke PrOr wird dann als pror in der Mitte zwischen den äußersten Vertikalen gemessen Çsror = ors"). Wenn die Be- zeichnungen pr und o,. wie in der Abbildung (pr in der Schlußlinie (pq^ angebracht werden, soll die Uebertragung nach dem //-Polygone rein mechanisch ausgeführt werden, so daß Pr über oder unter Or zu liegen kommt, je nach- dem pr über oder unter or liegt. Die Richtigkeit der Konstruktion ergibt sich, wenn man qrsr und q'rs'r mittels der Aehnlichkeit berechnet, und daraus wieder pror. — Bisweilen wird es praktisch sein, die Längen d' und d" willkürlich zu wählen, nur mit Rücksicht auf eine passende Größe der Abb. 21 b; vielleicht kann man D' und D" im Mittelpunkte zwischen Br_t und Br zusammenfallen lassen, wodurch d = d' — ïlr. Meistens wird man es vielleicht doch vorziehen, nur d willkürlich anzunehmen und dann d" mittels 37 a) d" = ^-d zu bestimmen, wodurch rir = »”, so daß p,.o,. in Abb. 21 b auf der mittelsten Vertikalen selbst abgeschnitten wird, und die Achse srs'r nicht gezogen zu werden braucht. Wir gehen jetzt dazu über zu zeigen, wie man in Abb. 18 die beiden Schlußlinienzüge konstruieren kann, wenn nur die beiden ersten Seiten, anal und b"0b\, be- kannt sind. Die Seite a^ schneidet die /^-Vertikale in T^ die gesuchte Seite a^ geht dann durch », und zu OtT\ parallel (indem wir die U\-Vertikale so bestimmt voraussetzen, daß sich die entsprechende U"- Vertikale ins Unendliche entfernt), und «,«., kann mithin gezogen werden, sobald 0t bestimmt ist. Um 0, zu finden, trägt man zuerst die bekannte Strecke O^P, nach 33) ab, und leitet darauf die Ordinate PtOt mittels der Konstruktion in Abb. 21 aus der gegebenen Seite b'^ im J-Polygone ab. Unmittelbar sind zwar nur die Punkte b6 (mit B0 zu- sammenfallend), b"o und b\ gegeben, und um die Kon- struktion in Abb. 21 durchführen zu können, braucht man noch b^', im J-Polygone ist aber der Punkt Q\ nur von der Belastung abhängig und kann also sofort nach 34) eingelegt werden, und die Gerade Q\Z^ wo Z, der Schnittpunkt der gegebenen Seite b'ob\ mit der Z-Vertikalen ist, führt dann zu &“*). Man kann also in Abb. 21 die Strecke ppi bestimmen, dieselbe als P^0x nach dem //-Polygone übertragen, und durch den in dieser Weise festgelegten 0,-Punkt ist, wie gesagt, die zweite Seite ata2bestimmt. Darauf geht man zur Seite b^b^ im X-Polygone. Hier kennt man im voraus (nach 34) die Punkte Q\ und Q[, und mittels der Konstruktion in Abb. 20 leitet man die Ordinaten Q^^und Q^S'j aus der eben gefundenen Seite ap2 im //-Polygone ab. Die Gerade S'JZ1 gibt dann den Punkt /[, die Verbindungsgerade S'S^ schneidet die O-Vertikale in 0,, und mittels der Geraden TtOt findet man endlich den Punkt T"x der gesuchten Seite b'^b'^ die somit gezeichnet werden kann. — Jetzt geht man zum //•Polygone zurück und konstruiert hier die dritte Seite a^a^ genau wie oben a^a^, und so kann offenbar ab- wechselnd eine Seite in den zwei Polygonen gezeichnet werden; die beiden Polygone sind also wirklich vollständig bestimmt, wenn die beiden ersten Seiten bekannt sind, genau wie für einen kontinuierlichen Balken mit elastisch senkbaren Stützen. Die Schwierigkeit ist jetzt nur die, daß man an fänglich nicht diese beiden ersten Seiten kennt. Außer der beschriebenen geometrischen Abhängigkeit zwischen den aufeinander folgenden Seiten kennt man von den zwei Polygonen: *) Es ist nämlich: 7W. = U^-Upp = ^--^t^^, Po Tai und mit Hilfe von 28): = Mi,mithin 6^ = _ (xx+x«)] oder nach 29): b”b\ = hx".