Graphische Behandlung von Bogenträgern über mehreren Oeffnungen und mit (in wagerechter Richtung) elastisch nachgiebigen Unterstützungen.

335 A. Ostenfeld, Graphische Behandlung von Bogenträgern über mehreren Oeffnungen usw. 336 1. die Punkte «0 und aa+1 (die Zahl der Oeffnungen gleich ri) des H-Polygone, indem A0a0 = 0 und ^«+I®>i+ 1 0; 2. die Punkte b'o und b"n des Ji-Polygons, Bnb'a = 0 und Bnb^ = 0. Aus b'o kann sofort ein Punkt der Seite b„b\ her- geleitet werden, falls die erste Seite a^ im Ji-Polygone bekannt ist; auf der dem Stützpunkte B0 entsprechenden (/"-Vertikalen (F") trägt man nur den (/"-Punkt ab, findet mit Hilfe der Konstruktion in Abb. 20 die Strecke ÿ"s", und hat somit den charakteristischen Punkt S" ge- funden; die Gerade S^b^ schneidet dann die ^-Vertikale in einem Punkte der Seite b"tb\ (siehe Abb. 19). Wenn die Endunterstützung frei drehbar ist (r0 = °°), fällt die y"-Vertikale mit der Stützenvertikalen zusammen und b" also in 6'o; hat man eine vollkommene Einspannung, fällt die lz"-Vertikale in die (/"-Vertikale, und die Polygon- seite b"^ geht durch den charakteristischen Punkt S'o. — In ähnlicher Weise kann man aus b'n einen Punkt der letzten Seite b^.^ herleiten, wenn die letzte Seite des Il-Polygons, «aaa+1, bekannt ist; hierzu benutzt man die der Stütze n entsprechende Z-Vertikale und den charakte- ristischen Punkt Sa. Durch den erwähnten geometrischen Zusammenhang zwischen den aufeinander folgenden Seiten und durch die genannten vier Punkte sind die beiden Schlußlinienzüge vollständig bestimmt, können aber, wie gesagt, doch nicht unmittelbar konstruiert werden. Läßt man die Bedingung Bnb„= 0 am rechten Ende fort und nimmt zum Ersatz die erste Seite («„«,) als bekannt an, bekommt man ebenfalls ein vollständig bestimmtes Polygon, das ein „Versuchspolygon erster Ordnung“ genannt werden soll (im folgenden wird von einem einzigen Polygon ge- sprochen, dabei aber immer die beiden zusammengehörigen H- und Ji-Polygone verstanden); dieses ist einfacher zu konstruieren wie das gesuchte Polygon selbst, kann aber doch noch nicht unmittelbar konstruiert werden. Läßt man dagegen die beiden Bedingungen am rechten Ende, -4„+laa+l = 0 und Bnb'n = 0, fort, und nimmt man zum Ersatz die beiden ersten Seiten, aoat und //„(',, als ge- geben an, erhält man ein sogenanntes „Versuchs- polygon zweiter Ordnung“, und dies kann, wie oben gezeigt, ohne weiteres gezeichnet werden. Einer bestimmten ersten Seite entsprechen also unendlich viele Versuchs- polygone zweiter Ordnung, aber nur eins erster Ordnung; dieses letztere ist daher ein spezielles der Versuchspolygone zweiter Ordnung. Ebenso gibt es unendlich viele Versuchspolygone erster Ordnung, nämlich eins jeder neuen ersten Seite entsprechend; für eines einzigen dieser Polygone ist auch die Bedingung À-n^+i — 0 erfüllt, und der gesuchte Schluß- linienzug ist daher ein spezielles Versuchs- polygon erster Ordnung. Wenn der untersuchte Träger n Oeffnungen, n — 1 Zwischenstützen hat, treten im ganzen « Größen H und 2n Größen X auf (indem auch bei den Endstützen eine Einspannung vorausgesetzt wird), also 3 n Unbekannte, zu deren Bestimmung man ebensoviel lineare Gleichungen 20 a) —22 a) hat. Setzt man Hn+1 — 4a+1aa+l $ 0 und X" = Bnb"t ^ 0 und betrachtet dagegen HX = Axax als bekannt, bekommt man 3 n -j- 2— 1 = 3w-( -1 Un- bekannte und 3 w Gleichungen, und hiermit ist man zu der Sammlung von Versuchspolygonen zweiter Ordnung übergegangen, die einer gegebenen ersten Seite entsprechen. Eliminiert man zwischen den 3 n Gleichungen alle die Unbekannten bis auf zwei, nämlich zwei aufeinander folgende H oder X, ergibt sich eine Gleichung der Form: 38) CxXkA- C.2X k+[ = D oder ExHr -j- B2H,.+l = F, und hierdurch wird ausgedrückt, 'daß die Polygonseite b.b,., oder a„a,.., durch einen festen Punkt mit der Vc, o,ier ra '”"’ ”“ Ordinate der Abszisse n ^i (von ^ ans gerechnet) oder (von Ar aus gerechnet) gehen muß. Die Koeffizienten G und E in 38), und damit die Abszissen der gefundenen Punkte, sind von den bekannten Gliedern der Gleichungen (Kr, L'r, L^, wozu hier auch HX gezählt werden soll, unabhängig; die Größen D und F, und somit die Ordinaten der erwähnten Punkte, hängen dagegen von diesen be kannten Gliedern ab. Es ist hiermit bewiesen, daß 1. in allen Versuchspolygonen zweiter Ordnung, die derselben ersten Seite a0a, und derselben Belastung (denselben P- und (I-Punkten) ent- sprechen, muß jede Seite einen festen Punkt (im folgenden „F-Punkt“ genannt) enthalten; 2. für alle Versuchspolygone zweiter Ordnung liegen die F-Punkte in festen Vertikalen („//-Vertikalen“), deren Lage sowohl von der ersten Seite wie von der Belastung (den P- und (I-Punkten) unabhängig ist. Dem letztern Satz zufolge kann man, wenn nur von einer Bestimmung der F-Vertikalen die Rede ist, sowohl die P- und (I-Punkte wie die erste Seite auat in der Achse liegend annehmen. Wählt man auch die zweite Seite in der Achse, fällt das ganze Polygon mit der Achse zusammen; wählt man eine willkürliche zweite Seite außerhalb der Achse, wird man ein andres Versuchspolygon erhalten, und dieses muß dann die Achse in den //-Punkten schneiden, die der genannten Lage der P- und (i-Punkte und der ersten Seite entsprechen, also: 3. die //"-Punkte (Fußpunkte der F-Vertikalen) aller Versuchspolygone zweiter Ordnung können als Schnittpunkte der Achse und eines Versuchspolygons, das mit den P- und (i-Punkten und der ersten Seite (a0a,) in der Achse, aber mit der zweiten Seite (b'„bx) außerhalb der Achse, konstruiert wird, ge- funden werden. Wir wenden uns jetzt zu den Versuchspolygonen erster Ordnung. Die ganze Sammlung dieser Polygone ist durch die genannten 3w Gleichungen bestimmt, wenn hierin //„+| als unbekannter (nicht = 0) betrachtet wird. Man hat also, genau wie oben, 3» Gleichungen mit 3n + 1 Unbekannten, mithin gelangt man durch dieselben Schlußfolgerungen wie oben zu den folgenden Sätzen: 1. In allen Versuchspolygonen erster Ordnung, die denselben P- und Q-Punkten (derselben Belastung) entsprechen, muß jede Seite einen festen Punkt („J-Punkt“) enthalten; 2. für alle Versuchspolygone erster Ordnung müssen die J-Punkte in festen Vertikalen liegen, deren Lage von den P- und (/-Punkten unabhängig ist; 3. die J’-Punkte (Fußpunkte der J-Vertikalen) können als Schnittpunkte der Achse und eines beliebigen Versuchs polygons erster Ordnung, das mit den P- und (/-Punkten in der Achse liegend gezeichnet ist, gefunden werden; mit diesen P- und (/-Punkten und mit der ersten Seite in der Achse fällt nämlich das ganze Versuchspolygon mit der Achse zusammen, und zwei beliebige dieser Polygone müssen sich in einer Reihe von J-Punkten (Punkten der J-Vertikalen) schneiden. Jetzt kann man schnell einen Ueberblick darüber geben, wie die ganze Konstruktion prinzipiell durchgeführt werden kann, wenn die P- und (/-Punkte gegeben sind. Da der gesuchte Schlußlinienzug ein spezielles Versuchs- polygon erster Ordnung ist, muß er durch die J-Punkte gehen, und sobald diese Punkte