Graphische Behandlung von Bogenträgern über mehreren Oeffnungen und mit (in wagerechter Richtung) elastisch nachgiebigen Unterstützungen.

337 A. Ostenfeld, Graphische Behandlung von Bogenträgern über mehreren Oeffnungen usw. 338 gefunden sind, kann der Schlußlinienzug ge- zeichnet werden. Von der letzten Seite des Ji-Polygons kennt man nämlich einen Punkt (a„+1) außer dem J-Punkt, und hierdurch ist das ganze //-Polygon offenbar bestimmt, so daß es ohne weiteres rückwärts gezeichnet werden kann, ohne Rücksicht auf das A-Polygon. Und wenn das //-Polygon gezeichnet ist, findet mau mittels der Kon- struktion in Abb. 20 die charakteristischen Punkte und die O-Punkte im Al-Polygone; mit Hilfe des zur letzten Unter- stützung gehörigen charakteristischen Punktes S.^ und der Z-Vertikale hier leitet man aus b'n einen Punkt der letzten Seite außer dem J-Punkt her, von der so bestimmten letzten Seite ausgehend wird dann das ganze Polygon rückwärts gezeichnet durch Benutzung der J-Punkte und der Geraden T" 0 T' (siehe Abb. 19), und man hat endlich als Kontrolle, daß die Geraden Sj.Z,. und S"r Yr (siehe Abb. 19) die Stützenvertikalen iu den Punkteu b'r und b'r treffen sollen. Die Konstruktion des Al-Polygons kann auch vom linkeu Ende angefangen werden, indem man aus /0 einen Punkt der ersten Seite (in der ^-Vertikale) herleitet. Um die J-Punkte zu bestimmen, müssen zwei willkürliche Versuchspolygone erster Ordnung (jedes mit einer beliebig gewählten ersten Seite) gezeichnet werden; die Lösung der Aufgabe hängt daher jetzt davou ab, wie ein solches Polygon konstruiert werden kann. Hierzu benutzt mau, daß das einer gewählten ersten Seite ent- sprechendes Versuchspolygon erster Ordnung ein spezielles derjenigen Polygone zweiter Orduung ist, die mit der- selben ersten Seite beginnen; das Polygon erster Ordnung muß daher durch die der gewählten ersten Seite entsprechenden F-Punkte gehen, und kann gezeichnet werden, sobald diese Punkte bekannt sind. Die letzte Seite des //-Polygons soll nämlich außer dem F-Punkte noch a„+1 enthalten und das ganze //-Polygon kann daher, wie oben, rückwärts gezeichnet werden, ohne Rücksicht auf das Ar-Polygon; jetzt können die S- und O-Punkte im AT-Polygon ermittelt werden, aus /„ kann ein Punkt in der ersten Seite (in der /^-Ver- tikale) hergeleitet werden, hieraus wieder ein Punkt der zweiten Seite usw. (mittels des geometrischen Zusammen- hangs zwischen der ersten und zweiteu Seite) und durch diese Punkte und die /'-Punkte kann das A-Polygon gezeichnet werden. Jetzt ist nur übrig, die einer gegebenen ersten Seite entsprechenden /'-Punkte zu bestimmen; diese können indessen ohne weiteres als Schnittpunkte zweier Versuchs- polygone zweiter Ordnung, beide mit derselben ersten Seite beginnend, konstruiert werden. Bei der praktischen Ausführung der Konstruktion geht man doch besser in etwas abweichender Weise vor — genau wie früher für kontinuierliche Balken mit elastisch senkbaren Stützen angegeben •—, indem man den Teil der Konstruktion (nämlich die Bestimmung der F- und J-Vertikalen) ausscheidet, der von der Belastung unabhängig ist und daher nur ein für allemal ausgeführt zu werden braucht, und erst nach Erledigung dieses die der Belastung entsprechenden P- und (/-Punkte einführt. Die Konstruktion gestaltet sich dann folgender- maßen: I. Bestimmung der /'-Vertikalen. Man nimmt sowohl die P- und (/-Punkte wie die erste Seite a0at in der Achse au, und konstruiert hiermit ein Versuchspolygon zweiter Ordnung; dieses schneidet dann die Achse in den /'“-Punkten. Es ist nicht notwendig, mit demselben Polygon immer fortzusetzen, vielmehr kann man, um be- quemere Linien zu erhalten, die beiden letztgefundenen Seiten (eine im H- und eine im A'-Polygoue) um deren /'“-Punkte drehen, doch aber so, daß die Ordinaten im selben Verhältnis verkleinert werden. IL Bestimmung der J-Vertikalen. Man wählt die P und (/-Punkte in der Achse und die erste Seite aüa^ außerhalb der Achse, und zeichnet hiermit ein Versuchspolygon zweiter Ordnung; dieses schneidet die unter I gefundenen F-Vertikalen in den der gewählten ersten Seite aüax entsprechenden F-Punkten, und mit Hilfe dieser zeichnet man dann, wie oben erklärt, das Versuchspolygon erster Ordnung, das mit der Seite a0at beginnt; dieses Polygon erster Ordnung schneidet die Achse iu den J°-Punkten. Auch hier wird sich oft als notwendig herausstellen, die Ordinaten der beiden Ictzt- gefundenen Seiten im selben Verhältnis zu verkleinern, um nicht zu allzu unbequemen Konstruktionslinien zu gelangen. III. Bestimmung der J-Punkte. Jetzt erst soll die gegebene Belastung in die Konstruktion eingeführt werden. Man trägt die P- und (/-Punkte auf, und mit diesen Punkten und einer willkürlichen ersten Seite, die gewöhnlich praktisch in der Achse gewählt wird, konstruiert man ein Polygon zweiter Ordnung, das die unter I ge- fundenen F-Vertikalen in den der gewählten Seite a^a, entsprechenden F-Punkte schneidet. Mittels diesen F-Punkten zeichnet man, wie unter II, das Versuchspolygon erster Ordnung, welches dann die unter II gefundenen J-Vertikalen in den J-Punkten schneidet, und hiermit ist endlich der gesuchte Schlußlinienzug bestimmt. — Auch hier wird man gewöhnlich nicht mit einem und demselben Polygon zweiter Ordnung bis zum rechten Ende fortsetzen können; man hilft sich dann wie oben durch eine Ver- kleinerung in demselben Verhältnis der Ordinaten der beiden letztgefundenen Seiten, muß aber hier erinnern, daß die Ordinaten der P- und (I-Punkte auch im selben Verhältnis verkleinert werden müssen. Sollen mehrere verschiedene Belastungen behandelt werden, für welche doch die P- und (/-Punkte in einer Reihe von Feldern vom linken Ende unverändert sind, bleiben auch die F-Punkte dieser Felder unverändert, und man hat erst neue F-Punkte von dem ersten Felde ab, wo die Belastung verschieden ist, zu konstruieren. Ist z. B. eine Anzahl Felder am linken Ende unbelastet, und ist die erste Seite des Versuchspolygons zweiter Ordnung in der Achse gewählt, so liegen die /'-Punkte aller un- belasteten Felder in der Achse und bleiben dort, solange die Felder unbelastet bleiben. Zum Schluß sollen noch die Formeln für die ver- schiedenen Größen, welche man nach obenstehendem bei der Konstruktion braucht, angegeben werden. Für eine Säule der Höhe h und mit dem Trägheits- momente J“ hat man: 3