Graphische Behandlung von Bogenträgern über mehreren Oeffnungen und mit (in wagerechter Richtung) elastisch nachgiebigen Unterstützungen.

319 A. Ostenfeld, Graphische Behandlung von Bogenträgern über mehreren Oeffnungen usw. 320 geführt werden. Endlich sind in Abb. 1c sämtliche Gelenke fortgelassen und so die Säulen und Träger mit- einander starr verbunden. Wegen des Widerstandes der Säulen gegen Drehung werden hier die Schnittmomente unmittelbar rechts und links der Zwischenstützen ver- schieden, und es sind daher außer den Horizontalschüben zwei Kräftepaare an jeder Zwischenstütze und im Falle einer starren Verbindung an den Endpfeilern hier noch je eine solche als überzählig einzuführen. Diese Bogenträger mit elastischen Pfeilern sind früher von Engesser (Zeitschr. f. Bauwesen, 1901, S. 311) rechnerisch, und speziell der Träger in Abb. 1c von Modesto Panetti (Reale Accademia delle Science di Torino, 1902) graphisch mit Hilfe der Culmann-Ritterschen Elastizitätsellipse behandelt worden. An und für sich begegnet man keiner prinzipiellen Schwierigkeit bei der Berechnung dieser Trägerformen; die nötigen Elastizitätsgleichungen können nach dem ge- wöhnlichen Verfahren aufgestellt werden. Wenn indessen die Zahl der Oeffnungen nicht ganz gering ist, bekommt man so viele überzähligen Größen, daß die Ausführung der Berechnung sehr schwierig wird, und es erscheint daher nicht unbegründet, in ähnlicher Weise wie für kon- tinuierliche Balken eine graphische Auflösung der Elastizitäts- gleichungen zu versuchen; wie sich zeigen wird, kann eine solche Lösung durchgeführt werden entweder ausschließ- lich mittels derselben oder wenigstens mittels ganz ähn- licher Konstruktionen, wie der in meinen frühern beiden Arbeiten über kontinuierliche Balken (Z. 1905, Heft 1, und 1908, Heft 1) angewandten. Ueberhaupt sind diese graphischen Konstruktionen nur als graphische Lösungen der betreffenden Gleichungen aufzufassen, und sie können daher bei Behandlung ganz andrer Aufgaben wie der- jenigen, für welche sie ursprünglich angegeben wurden, angewandt werden, wenn nur die Gleichungen dieselbe Form besitzen. I. Her Bogenträger in Abb. la. Hier sollen also alle Horizontalschübe als überzählig eingeführt werden, wodurch das in Abb. 2 gezeigte Haupt- system erhalten wird. Der Horizoutalschub im rten Felde — zwischen der (r — l)ten und der rten Säule — wird Hr genannt; in der Figur sind die Kräfte H für die Bögen und für die Säulen etwas verschoben gezeichnet, natürlich sollen sie aber als in derselben Linie wirkend aufgefaßt werden. — Die Belastung Hr = — 1 ist in Abb. 3 gezeigt; nur der rte Bogen und die Säulen (r — 1) und r sind dadurch beansprucht; die Biegungslinie mit den Ordinaten ömr, welche in bekannter Weise bestimmt werden können, ist unten in der Abbildung gezeigt. Die Elastizitätsgleichungen haben die gewöhnliche Form: 1) 0 —:^Pm^mr ^1^1,r ^2^2,r ■ • -• — Hr_tbr_tr— Hr%r r — Hr+tbr+lr.... +8ri+ 8ru. Hierin bedeutet 8nr die Verschiebung des „Angriffspunktes“ von Hr in der Richtung Hr = — 1 infolge von der Be- lastung Hr= — 1; mit den Bezeichnungen: Ay = die gegenseitige Verschiebung der Punkte ar_t, ar in Abb. 3 voneinander weg, welche von der Belastung H, = — 1 hervorgerufen wird, und fcy.,, A -...... die wagerechten Ausbiegungen der obern Säulenenden, die von einer wagerechten Kraft 1, im obern freien Endpunkt der unten ein- gespannten Säule angreifend, bewirkt werden, hat man: 2) 8rr = &,.,+ Ar + ^r- Die Verschiebung 8ir des „Angriffspunktes“ von Hk, welche von der Belastung IIr = — 1 bewirkt wird, läßt sich in ähnlicher Weise als eine Summe von drei Gliedern ausdrücken, wovon das eine vom Bogen, die beiden andern von den Säulen herrühren; da indessen, wie gesagt, von allen Bögen nur der rte und von allen Säulen nur Nr. (r— 1) und r von der Belastung Hr— — 1 beansprucht werden, muß sein: 3) 8l>r= 0, 82>r= 0,.... 8r.1>r= — ^.p °r+l,r == ^r, ^r+2,r--0...., und die Gleichung (1) vereinfacht sich daher zu: 4) — H^k^-}- H,.(kf-i^r Ar + &,) — Hr+lkr = 2Pm8my+ 8re4 - 8ru. Diese Gleichung hat genau dieselbe Form wie die gewöhnliche Clapeyronsche Gleichung für einen durch- gehenden Balken mit festen Stützpunkten, und mithin muß es möglich sein, die unbekannten H hier mittels der bekannten, für den genannten durchgehenden Balken gültigen, graphischen Konstruktion zu bestimmenn (Z. 1905, Heft 1). — Der Vollständigkeit halber sei bemerkt, daß die Stützpunkte der Bögen natürlich gar nicht in derselben Wagerechten zu liegen brauchen, wie anscheinend in Abb. 2- 3 vorausgesetzt. Mit einer willkürlichen Höhen- lage (Abb. 4) löst man wie gewöhnlich die Stützendrücke des Bogens nach der lotrechten und nach der Verbindungs- geraden ar_tar auf und führt die wagerechte Seitenkraft des letztgenannten Reaktionskomponeuten als die über- zählige ein; die Momente für die Belastung Hr = — 1 werden dann als die lotrechten Ordinaten zwischen Bogen und Sehne gemessen, und hiermit wird die Biegungslinie 8mr wie früher bestimmt. Gleichung 4) hat, wie gesagt, die allgemeine Form: 5) arHr_t+ brHr+ crHr+i = Kr, und die graphische Lösung eines Systems solcher Gleichungen ist bekannt. Wenn die unbekannten H Stützenmomente für einen durchgehenden Balken bedeuten, denkt man sich dieselben als Ordinaten in den Stütz punkten abgetragen, zieht die Verbindungsgeraden der