Graphische Behandlung von Bogenträgern über mehreren Oeffnungen und mit (in wagerechter Richtung) elastisch nachgiebigen Unterstützungen.

321 A. Ostenfeld, Graphische Behandlung von Bogenträgern über mehreren Oelfnungen usw. 322 Endpunkte dieser Ordinaten und erhält somit einen Schluß- linienzug mit solchen Eigenschaften (die aufeinander- folgenden Seiten sind zusammengehörige Linien einer ge- gebenen Homologie), daß derselbe konstruiert werden kann. — Das Verfahren ist kurz das folgende (Abb. 5, wo . ...ar_,arar+1.... der gesuchte Schlußlinienzug ist). Man teilt den Koeffizienten br in zwei willkürliche Teile b'r und b'j., betrachtet ar, b'r, b". und cr als lotrechte Kräfte, die in den Stützpunkten Ar_t, Ar, Ar und ^,+1 angreifen, und bestimmt den Angriffspunkt Ur für den Resultanten von ar und b'r, ebenso den Angriffspunkt U''.für den Resultanten von br und cr und endlich den Angriffspunkt O, für den Resultanten ar + b'r -|- />'+ Cr von a"en vier Kräften. In dieser Weise ergibt sich: 6) ArU'r = Ar 0" = ar + b'r r’ ar + ^r + Cr a,.u'' = Cr I + b'r + Cr r+1’ wo die Abstände alle positiv nach rechts gerechnet wurden. Die Vertikalen in den (/-Punkten schneiden dann den Schlußlinienzug in T’r und T"r (siehe Abb. 5), und endlich schneidet die Verbindungsgerade T^ T''.auf der O-Vertikalen die bekannte Strecke Zwischenstützpunkte haben, wie der Bogenträger Oeffnungen hat, und überdies eine Endstütze (^4„ und ^n+1) an jedem Ende. In Abb. 6 ist der Bogenträger oben angedeutet, der gedachte kontinuierliche Balken unten, und die Anord- nung in der Figur ist so getroffen, daß man leicht sieht, zu welcher Oeffnung des Bogenträgers ein unten in der Abbildung aufgetragenes H gehört. Die Konstruktion gestaltet sich am einfachsten, wenn die Feldweiten des gedachten kontinuierlichen Balkens gleich groß gewählt werden, A0Al = AxA2 = A2A3. ■ - ■ = ^ was daher im folgenden überall vorausgesetzt wurde. Dann findet sich nach 6): k 8) ArOr = 1,-1 -^—1 ^ (positiv nach rechts). Ür Die Lage der O-Vertikalen wird verschieden, je nachdem man die Teilung des Koeffizienten br = br -( - br in der einen oder der andern Weise vornimmt; recht einfache Verhältnisse ergeben sich, wenn gesetzt wird: br ~ ^^+1c~+tr^ br = ^+/.•,,.,+*:,.^ wodurch nämlich (nach 6): 9) ArUr = 4—^t ’-X— ArUr, die beiden zu ylr gehörigen (/-Punkte liegen hiernach gleich weit zu jeder Seite von Ar entfernt; man muß indessen besonders bemerken, daß im Gegensatz zu den Verhältnissen bei einem durchgehenden Balken Urrechts, U"r links von A,. zu liegen kommt, während natür- lich in der Homologie U' immerhin mit der Polygonseite ar_,ar und U"r mit arar+, zusammenhört. — Bei einiger- maßen flachen Bögen und hohen Säulen*) werden die Größen k groß im Verhältnis zu A", und die durch 9) bestimmten (/-Punkte liegen dann unbequem weit entfernt. In diesem Falle (und auch sonst oft) setzt man mehr br = ^r-l) br —A' rA-kr, ArUr = ™, ArU' r= br = (..,+ br = kr, ArU'r = +^x, Arü"r = ~; praktisch: entweder $a) wodurch] 1 oder 9b) I wodurch ab. Hieraus folgt, wie genannt, daß die aufeinander folgenden Seiten ar^,ar und arar+, zusammengehörige Linien in einer Homologie sind, welche bestimmt ist durch Or als Homologiezentrum, Arar als Achse und die (/-Ver- tikalen als ein Paar homologer Linien. Indem nun die erste Seite des Schlußlinienzuges einen gegebenen Punkt (den ersten Stützpunkt) enthält, muß die zweite Seite durch den diesem entsprechenden Punkt gehen usw., und endlich muß die letzte Seite außer einem in dieser Weise kon- struierten Punkte noch einen gegebenen Punkt (den letzten Stützpunkt) enthalten und kann also gezeichnet werden, wonach das ganze Polygon ohne weiteres rückwärts ge- zogen werden kann. — Beim praktischen Gebrauch wird die Konstruktion bekanntlich so geteilt, daß man zuerst mit Hilfe der festliegenden U- und O-Vertikalen eine Reihe ebenso von der Belastung unabhängiger J-Vertikalen (der ersten Stützenvertikalen entsprechend) herleitet und dann erst die spezielle Belastung (beim Auftragen der Strecken OJO,) einführt. Wenn jetzt diese Konstruktion zur Lösung der Gleichungen 4) angewandt werden soll, muß man sich wie oben die gesuchten Größen als Ordinaten aufgetragen denken (Abb. 6, A,ax = H,, A2a2 = H2....) in einer Reihe von Punkten A„ A2...., deren Abstände 404,, A,A2 ... an und für sich beliebig gewählt werden können. Denkt man sich die Größen H als Stützenmomente eines durchgehenden Balkens, muß dieser Balken ebenso viele daß ein (/-Punkt sich so ins Unendliche fernt, macht nämlich keine Schwierigkeiten hier, wo man nur die [/-Vertikalen, nicht aber die darin liegenden charakte- ristischen Punkte (siehe Z. 1905, Heft 1) bei der Kon- struktion braucht. Endlich bekommt man nach 7): 10) o^o, . = -^(SPm3m, .+ ô,.;+ô,.u); das erste Glied (lPvtbmr) ermittelt man mit Hilfe der Biegungslinie (Abb. 3) oder, wenn es sich um eine einzelne gegebene Belastung dreht, vielleicht schneller durch: SPm5 J EJ die Größen 8r, und 8ru setzen sich, ebenso wie oben (Gleichung 2) für 8, , . gezeigt, aus drei Gliedern zusammen und können dadurch in jedem einzelnen Falle leicht ermittelt werden. Die Ausführung der Konstruktion ist jetzt in Abb. 7 gezeigt. Die Punkte A^, A,, J,2.... sind in konstantem Abstand X voneinander gewählt, etwa gleich der mittlere Oeffnungsweite, die O-Vertikalen werden nach 8), die ♦) Allzuweit in dieser Richtung darf natürlich nicht ge- gangen werden, ohne die Aenderung der Spannweite und der Pfeilhöhe zu berücksichtigen (siehe die obengenannte Arbeit Engessers). 2