Graphische Behandlung von Bogenträgern über mehreren Oeffnungen und mit (in wagerechter Richtung) elastisch nachgiebigen Unterstützungen.

323 A. Ostenfeld, Graphische Behandlung von Bogenträgern Uber mehreren Oeffnungen usw. 324 (/-Vertikalen sind hier nach 9) eingelegt. Zuerst werden dann die J’-Punkte konstruiert; eine beliebige Gerade A„a, schneidet die (7'-Vertikale in ux, und mit dem Homologiezentrum in 0" findet man den zu «(homologen Punkt w" durch die Gerade u\0" u'j; die zu Auax homologe Linie ist dann axu",und schneidet die Achse in J"; durch Wiederholung dieser Konstruktion, mit einer beliebigen Geraden durch J2 beginnend, findet man J" usw. — Nachdem jetzt die O-Ordinaten nach 10) aufgetragen sind, zieht man die Gerade A0Ox, welche die J2-Vertikale im Punkte J., der zweiten Seite schneidet, weiter fuhrt J2O2 zum Punkte J3 der dritten Seite usw., und wenn endlich der J-Punkt der letzten (in Abb. 7: der vierten) Seite gefunden ist, ist diese letzte Seite bestimmt, indem sie auch An+1(Ä4) enthalten muß, und das ganze Polygon kann dann rückwärts gezeichnet werden. In Abb. 8 ist die Konstruktion der J-Vertikalen mit Hilfe der durch 9b) gegebenen (/-Punkte (A U" = ^) gezeigt. Man hat hier nur die zu Aüax homologe Linie zu O"«( parallel zu ziehen, sonst ist alles unverändert wie in Abb. 7. Hiermit ist die Aufgabe für den in Abb. la gezeigten Träger gelöst; doch mögen hier noch einige Bemerkungen über die Anwendung der Konstruktion zur Be- stimmung von Einflußlinien Platz finden. Diese Bemerkungen gelten auch für die im folgenden behandelten Träger sowie für die verschiedenen Formen von durch- gehenden Balken und überhaupt immer, wo diese graphische Auflösung der Elastizitätsgleichungen in Anwendung ge- bracht wird. 1. Man kann die einzelnen Einfiußordinaten unmittelbar bestimmen, indem man als einzige Belastung eine Kraft 1 nach und nach in verschiedenen Punkten anbringt und die entsprechenden Schlußlinienzüge konstruiert; einer dieser Schlußlinienzüge liefert eine Ordinate jeder Einflußlinie. 2. Durch Auflösung der Elastizitätsgleichungen erhält man bekanntlich die Gleichungen der Einflußlinien in der Form: 11) ^i — ai8m,i + a28m,2 +.... «,3m,,.+...., ^r Pl^m,t "I ”P3m,2 4" •■■■Pr(«1r 4“...., hier sind die Durchbiegungen 8„, ,, o„ii2....8„,r.... bekannt oder können leicht ermittelt werden, die Größen a....p.. . sind unveränderliche, die nur von den Koeffizienten der unbekannten in den Gleichungen 4) abhängen, und diese Größen können mittels der Konstruktion hier bestimmt werden. Setzt man näm- lich in 11) 8m>) = 1, 8m2 = 6m,3 =....5mr = 0, sind die Ö-Punkte durch 7) gegeben, und wenn der diesen O-Punkten entsprechende Schlußlinienzug kon- struiert wird, hat man die gefundenen Größen H: Hx — K,, H2 — ß,,... Hr — p,.... Nachdem man durch Wiederholung dieses Verfahrens alle die Unveränderlichen in 11) ermittelt hat, ist es eine rein mechanische Arbeit, die Einflußlinien durch Summation nach 11) zu bilden. 3. Endlich kann man ein statisch unbestimmtes Haupt- system benutzen und vorläufig nur z. B. Hr als über- zählig einführen. Die Gleichung der Jf,.-Linie ist dann bekanntlich H = wo jetzt 8_r und 8rr r>r dem statisch unbestimmten Hauptsystem entsprechen. Man setzt Hr — — 1 und bestimmt die dadurch hervorgebrachten Werte der übrigen Horizontalschübe, indem man die graphische Konstruktion hier auf jeden der beiden voneinander unabhängigen Bogenträger anwendet, von welchen das statisch unbestimmte Hauptsystem besteht. Wenn alle diese H- Größen bekannt sind, können die Biegungslinie 8,„ r und die Verschiebung 8rr bestimmt werden. Dies letztere Verfahren paßt doch augenscheinlich weniger gut zu der übrigen Konstruktion und darf kaum vorgezogen werden, es sei denn, daß man nur eine einzige der Ä-Linien braucht. II. Der Bogenträger in Abb. 1 b. Außer den Horizontalschüben sollen hier also die Stützenmomente als überzählig eingeführt werden, und das Hauptsystem (Abb. 9) wird dann dasselbe wie in der vorigen Untersuchung. Die Horizontalschübe werden wie oben mit HX) H.2.... bezeichnet, die Stützenmomente wie in Abb. 9 angegeben mit X0, X(, X,.... Die Belastung Hr — — 1 ist in Abb. 10 gezeigt; nur der rte Bogen und die Säulen (r — 1) und r sind dadurch beansprucht. Die Biegungslinie 3ist dieselbe wie bei der vorigen Aufgabe, ebenso die Größen 8,,r,o2 r...., welche daher durch 2) und 3) gegeben sind; letztere Größen sind also alle Null außer 0r_, r, orr und 8r+l r. Die Glieder der H, .entsprechenden Elastizitätsgleichung, welche die Größen H enthalten, sind dann genau dieselben wie in Gleichung 4). — Die Koeffizienten der Größen X in derselben Elastizitätsgleichung bedeuten die von der Be- lastung Hr = — 1 bewirkten gegenseitigen Drehungen der Tangentenpaare (von den Tangenten in den Bogen- stützpunkten gebildet), auf welche die Momente X wirken. Da, wie gesagt, nur der rte Bogen von Hr = — 1 be- ansprucht wird, sind die Koeffizienten von Xr_, und X, die einzigen, die nicht Null werden. Um diese Drehungen (und ebenso die Koeffizienten der Ueberzähligen in der Xr entsprechenden Elastizitäts- gleichung) in einfacher Weise ausdrücken zu können, wollen wir gleich einige Bezeichnungen einführen (Abb. 11). Für den r*®” Bogen soll die Verlängerung der Sehne (r — 1) — r (doch immer in wagerechter Richtung) durch Ar bezeichnet werden, und speziell sollen die Bezeichnungen A", Ar oder