Graphische Behandlung von Bogenträgern über mehreren Oeffnungen und mit (in wagerechter Richtung) elastisch nachgiebigen Unterstützungen.

325 A. Ostenfeld, Graphische Behandlung von Xr gebraucht werden, je nachdem die Verlängerung durch die Belastung Hr = — 1, durch ein Moment 1 im rechten Endpunkt des Bogens angreifend, oder durch ein Moment 1 im linken Endpunkt bewirkt wird. Ebenso für den rten Bogen soll die absolute Drehung der Tangente im Stützpunkte Çr — 1) durch 9,._, und die Drehung der Tangente im Stützpunkte r durch «, bezeichnet werden (ß bedeutet also immer eine Drehung am linken, a am rechten Ende eines Bogens), und die Ursache der Drehung soll in derselben Weise wie oben angegeben werden; somit bezeichnen und a* die von Hr = — 1, ß^., und a,. die vom Moment 1 am rechten Ende, und ß"., und a” die vom Momente 1 am linken Ende hervorgerufenen Drehungen. Diese Be- zeichnungen sollen auch bei Behandlung der Träger in Abb. 1c benutzt werden, und fallen dort vielleicht etwas natürlicher, indem der Ursprung des einzelnen oder doppelten obern Striches (a', a'....) unmittelbar ein- leuchtet als der Belastung X' =— 1 oder X" = — 1 entsprechend; die Bezeichnungen X‘ und X'j. werden näm- lich dort für die Schnittmomente unmittelbar links und rechts der rten Stütze gebraucht. — Die positive Richtung sämtlicher Verschiebungen ist wie gewöhnlich durch die Richtung der Belastung H = — 1 oder X= — 1 gegeben, welcher sie entsprechen. Infolge von der bekannten Gegen- seitigkeit ist 1-A'r = l-a" und 1-A" = 1-ß'^. Indem jetzt die Belastung Hr — — 1 nur den rten Bogen beansprucht, wird die relative Drehung des Tangentenpaares an der (r — 1)*««! Unterstützung gleich der absoluten Drehung ß"_, der Tangente rechts dieser Unter- stützung, und ebenso wird die relative Drehung an der r*6“ Unterstützung gleich der absoluten Drehung der Tangente links der >-t°n Stütze. Die Hr entsprechende Elastizitätsgleichung lautet daher, indem der obere Index h auch den Größen öwr, 8r( und 3r„ hinzugefügt wird: 12) * ^r-lK-t + ^Ä-l + ^ + ^) --------------Hr+tkr I + Xr^ + Xra':. = ^X,r + 8"(+ ö^. Durch die Belastung Xr = — 1, die in Abb. 12 gezeigt ist, werden nur der rte und der (r j - l)te Bogen, und die Säulen gar nicht, beansprucht. Die entsprechende Elastizitätsgleichung kann dann sofort aufgeschrieben werden und lautet (mittels der eingeführten Bezeichnungen): 13) X-.X. + X« + X) + ^+1<+, + Hrür + -^r+l^r+l —^^s,,,^ + ^Pm^r + X+ ^,1 + $'•,« + 5'.«' Die Bedeutung der Größen o,„ r und ow>r als Durch- biegungen im Felde links und rechts der rten Stütze geht aus Abb. 12 hervor; 8^ und 8^, bezeichnen die von einer Temperaturänderung hervorgerufenen absoluten Drehungen der Tangenten (im Uauptsystem) links und rechts der rten Stützen, und (.^ und &','.„ haben analoge Bedeutungen. Von Elastizitätsgleichungen der Form 12) hat man eine für jede Oeffnung und von Gleichungen der Form 13) eine für jede Zwischenstütze. Wenn die von lauter be- kannten Gliedern bestehenden Ausdrücke der rechten Seiten mit Kr und LT bezeichnet werden, können die Gleichungen geschrieben werden: Bogenträgern über mehreren Oeffnungen usw. 326 12al l Hr-^r-i + Hr&r-t 4" Xr -|- k,.) — Hr+tkr 1 = k,.- x^^^-x,.^., 13a) 'ß'-' ^ -^r (<zr + ßr) + ^r+if4+l * = Lr-HrXr-Hr+lX'r+l, und wir sollen jetzt zeigen, wie man zu einer graphischen Bestimmung aller unbekannten JI und X hierin gelangen kann. In Abb. 13 sind die unbekannten J als Ordinaten Blbl — Xif B2b2 — X2.... abgetragen, so daß die Bestimmung der -Y-Größen mit der Zeichnung des Schluß- linienzuges bobtb2... gleichbedeutend ist, und unten in derselben Abbildung ist A^ = Z/,, A2a2 — H2...., so daß die Zf-Werte durch den Schlußlinienzug a0ala,.... bestimmt sind. Falls die rechten Seiten der Gleichungen 12 a) und 13a) nur bekannte Glieder enthalten hätten, wären die beiden Schlußlinienzüge voneinander unabhängig und könnten jeder für sich durch die einfache Konstruktion bestimmt werden, die für kontinuierliche Balken auf feste Stützen gilt, und die oben für den Bogenträger in Abb. la angewandt wurde; die linke Seite in 12 a) ist wörtlich die- selbe wie in 4) oben, und die linke Seite in 13 a) dieselbe wie in den Gleichungen für einen gewöhnlichen durch- gehenden Balken. Da nun die rechten Seiten der Gleichungen hier auch einige unbekannten Größen enthalten, wird die graphische Konstruktion nicht dermaßen einfach, was sich namentlich dadurch zeigt, daß die beiden Schlußlinienzüge voneinander abhängig werden; nichtsdestoweniger kann man doch bei derselben Konstruktion prinzipiell festhalten. Durch die rechten Seiten der Gleichungen sind nämlich nur die Ordinaten der Ö-Punkte (siehe Gleichung 7) bestimmt und diese können also hier nicht als im voraus gegeben betrachtet werden; aber alle übrigen Glieder der Kon- struktion, und namentlich die Lage der U- und O-Vertikalen, hängen nur von den Koeffizienten der linken Seiten ab. Für beide Schlußlinienzüge hat man daher dieselbe geo- metrische Abhängigkeit zwischen den aufeinander folgenden Seiten wie früher, nur sind die O-Ordinaten hier nicht bekannt, selbst wenn die Belastung gegeben ist. Für das -SS-Polygon legt man die U- und O-Vertikalen ein mittels der folgenden von 6) abgeleiteten Ausdrücke: I BrUr = - (, B„u; = +-„ IBW = — ßr-1 + + “r+1 für das //-Polygon hat man hierzu die oben angegebenen Abstände 8) und 9) — 9b). Die Ordinaten der Ö-Punkte können in zwei Teile O“O,. = O°.Pr + P,.0, geteilt werden. Durch Anwendung von 7) auf 12 a) und 13a) ergibt sich: 15) für das //-Polygon: O°Pr = P,.O,.- 2*