Graphische Behandlung von Bogenträgern über mehreren Oeffnungen und mit (in wagerechter Richtung) elastisch nachgiebigen Unterstützungen.

mai 327 A. Ostenfeld, Graphische Behandlung von Bogenträgern über mehreren Oeffnungen usw. 328 1für das X-Polygon: 1«) IO°Pr = ^Pßr = — H'Ar+Hr+,^r+l ^ indem ß'r_, + a'. + ß" + a"+1 der Kürze halber gleich ^ gesetzt wurde. Die P- Punkte sind nur von gegebenen Größen abhängig und können also sofort eingelegt werden; dagegen sind die Strecken PrOr im //-Polygone von den unbekannten X, im A-Polygone von den unbekannten // abhängig. In der folgenden Konstruktion hat man nötig, in ein- facher Weise die Strecken PO bestimmen zu können, wenn die H- und A-Polygone bekannt sind, und diese Bestim- mung sollte gern rein mechanisch ausgeführt werden können, ohne Ablesung auf einem Maßstabe. Am einfachsten ist es wohl, um die durch 15) gegebene Strecke PO zu kon- struieren, wie in Abb. 14 die Feldweite B^B,,im Verhältnis _ B^ CrBr ' 'zu teilen, wodurch Crcr = so daß nur übrig bleibt, mit ßr-i i-«" zu multiplizieren. Wenn man mit den Einheiten Tons und Meter rechnet, und wenn die Maßstäbe im //-Polygon lcm ~ &‘, im X-Polygon l ™ — nmt sind, kann diese Multiplikation z. B. mit Hilfe eines Reduktionswinkels, wie in der Abb. 14 (oben) angedeutet, ausgeführt werden, und man findet dann PrOr = c,.cr, wenn die Gerade Crer durch 17a) sin 0 = ß^1 + < n 1c bestimmt ist. In ähnlicher Weise findet man die durch 16) gegebene Strecke Pr Or (unten in Abb. 14) durch Einteilung von A,._, Ar im , , . Ar , Dr A''+1 , Verhältnis — — —4— und DrAr Benutzung eines durch 17 b) sinw = Ar -|- Af+1 ^ bestimmten Reduktionswinkels. Ergibt sich sin y oder sin w> l, muß das Verfahren natürlich in zweckent- sprechender Weise abgeändert werden. — Anscheinend vielleicht umständlicher, in der Ausführung jedoch emp- fehlenswerter, weil zu weniger Ueberfüllung der Figuren Anlaß gebend, ist die unten (in Abb. 20—21) für den Träger in Abb. 1c angegebene analoge Konstruktion. Hauptsache ist, daß man die Strecken P rOr in solcher Weise findet, daß man dieselbe ohne weiteres mit dem Zirkel vom X- Polygone zum //-Polygone und umgekehrt übertragen kann. — Noch sei bemerkt, daß die Hilfs- konstruktion in Abb. 14 nur vom Verhältnis zwischen Kräfte- und Momentenmaßstab abhängt, so daß eine Ver- größerung oder Verkleinerung der Ordinaten im //- und Ji-Polygone in demselben Verhältnis nichts ändert. Indem wir uns jetzt zur Konstruktion der Schluß- linienzüge wenden, wird sich zeigen, daß diese sich in ganz ähnlicher Weise durchführen läßt wie bei kontinuier- lichen Trägern mit elastisch senkbaren Stützen. Dies geht erstens daraus hervor, daß die beiden Schlußlinienzüge konstruiert werden können, falls man nur die beiden ersten Seiten (a0a, und b„bt in Abb. 13) kennt. Aus 15) sieht man nämlich, daß der 0,-Punkt im H- Polygone nur von X0 und X, abhängt und daher durch die Konstruktion in Abb. 14 aus der gegebenen Seite bl)bi hergeleitet werden kann, und sobald dieser Punkt bekannt ist, kann die zweite Seite im //-Polygone a,a2 gezogen werden (mittels der Geraden T^O^^, Abb. 13). Darauf wird die Seite btb2 im A-Polygone konstruiert, indem der 0,-Punkt hier nur von den jetzt bekannten Ht und H^ abhängt (siehe 16), und also aus a^ hergeleitet werden kann. Sodann geht man zum //Polygone zurück und findet «2«3, dann b2b., im X-Polygone usw.; in dieser Weise kann fortgesetzt werden bis zum rechten Ende. Weiter geht noch die Uebereinstimmung zwischen der Konstruktion hier und derjenigen für kontinuierliche Balken mit elastisch senkbaren Stützen unmittelbar aus den Gleichungen hervor. Wenn man hier die Unbekannten in der Reihenfolge ....H^, Xr_t, Hr, X,........nennt, sieht man, daß die Gleichungen 12 a) und 13 a) nur je fünf aufeinander folgende der Unbekannten enthalten, genau wie bei den genannten kontinuierlichen Trägern. Das nähere Ausformen der Konstruktion ist daher auch dem in meiner frühern Abhandlung (Z. 1908, Heft 1) ange- gebenen ganz analog, und was die Einzelheiten anbelangt, muß es daher genügen, um Wiederholungen zu vermeiden, zu der unten angegebenen Behandlung des Trägers in Abb. 1c zu verweisen; der Träger hier ist natürlich nur ein spezieller Fall desjenigen in Abb. 1c (alle Säulen- Momente SX = 0). III. Der Bogenträger in Abb. l e. Außer den Horizontaldrücken führt man hier, wie schon oben gesagt, zwei Stützenmomente bei jeder Zwischen- stütze als überzählig ein, und das Hauptsystem besteht dann wie bei den beiden schon untersuchten Trägern aus einer Reihe unten eingespannter, sonst aber freistehender Säulen und einer Reihe voneinander unabhängiger, ein- facher (krummer) Balken. Das Hauptsystem mit den Ueberzähligen als äußern Kräften ist in Abb. 15 gezeigt; die Bezeichnungen sind dieselben wie früher, nur mit dem Zusatz, daß das überzählige Moment unmittelbar links einer Säule X', unmittelbar rechts X" genannt wird. Die Belastung Hr — — 1 beansprucht wie früher (Abb. 10) nur den rten Bogen und die Säulen (r — 1) und r; im ganzen kann die genannte Abbildung unverändert auch hier benutzt werden. In der Hr = — 1 entsprechenden Elastizitätsgleichung bleiben daher die Glieder, welche die Größen H enthalten, genau dieselben wie in Gleichung 12) für den Träger in Abb. 1b, und dasselbe gilt von dem von den äußern Kräften herrührenden Gliede SPmb'^r' Von Gliedern, welche die Größen X enthalten, bekommt man, indem die Winkel a und ß, und im ganzen alle Bezeichnungen in Abb. 11, mit genau den frühem Be- deutungen gebraucht werden, X"_,ß*_1 + A,a,'.; die in den Endquerschnitten des beanspruchten (rte”) Bogens an- greifenden Momente heißen ja jetzt X"_, und X,., während dieselben Größen beim vorigen Träger nur mit Ar_, und Ar bezeichnet wurden. Außer diesen Gliedern erhält man indessen hier auch einige Beiträge von den Momenten 18) AAr., = Ar,— A"., und SXr = X',. — X", die auf die freien Säulenenden einwirken. Entsprechend den in Abb. 11 für die Bögen angegebenen sollen für die Formänderungen der Säulen die in Abb. 16 eingetragenen Bezeichnungen benutzt werden; eine im obern Endpunkt der Säule angreifende wagerechte Kraft 1 bewirkt eine wagerechte Ausbiegung k und eine Drehung der End; tangente 0, ein ebenda angreifeudes Moment 1 eine wage rechte Ausbiegung q und eine Drehung der Tangente r; bekanntlich ist dann: 19) 1-2, = IA-